AtCoder题解——Beginner Contest 179——E - Sequence Sum

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本文解析AtCoderBeginnerContest179E题，针对序列求和问题，提出优化算法，通过查找循环部分降低计算复杂度。

题目相关

题目链接

AtCoder Beginner Contest 179 E 题，https://atcoder.jp/contests/abc179/tasks/abc179_e。

Problem Statement

Let us denote by f(x,m) the remainder of the Euclidean division of x by m.

Let A be the sequence that is defined by the initial value A1=X and the recurrence relation $A_{N+1}=f(A^{2}_{N}, M)$ . Find $\sum_{i=1}^{N}A_{i}$ .

Input

Input is given from Standard Input in the following format:

N X M

Output

Print $\sum_{i=1}^{N}A_{i}$ .

Samples1

Sample Input 1

6 2 1001

Sample Output 1

Explaination

The sequence A begins 2,4,16,256,471,620,… Therefore, the answer is 2+4+16+256+471+620=1369.

Samples2

Sample Input 2

1000 2 16

Sample Output 2

Explaination

The sequence A begins 2,4,0,0,… Therefore, the answer is 6.

Samples3

Sample Input 3

10000000000 10 99959

Sample Output 3

492443256176507

Constraints

1 ≤ N ≤ 10^10
0 ≤ X < M ≤ 10^5
All values in input are integers.

题解报告

题目翻译

定义了一个函数 f(x, m)，该函数的含义是 x 对 m 进行欧几里得除法的余数。

我们定义一个序列 A， $A_{1}=X$ ， $A_{N+1}=f(A^{2}_{N}, M)$ 。要求我们计算 $\sum_{i=1}^{N}A_{i}$ 。

Euclidean division

内容来自 Wiki。

给两个整数 a 和 b，其中 $b\neq 0$ ，存在一个唯一的整数 q 和 r，满足 $a=bq+r$ ，其中 $0\leq r< |b|$ 。

样例数据分析

样例 1

根据输入可得，N=6，X=2，M=1001。整个计算过程如下。

	x	ans
A1	A1=2%1001=2	ans=2
A2	A2=(2*2)%1001=4	ans=6
A3	A3=(4*4)%1001=16	ans=20
A4	A4=(16*16)%1001=256	ans=276
A5	A5=(256*256)%1001=471	ans=743
A6	A6=(471*471)%1001=620	ans=1361

样例 2

根据输入可得，N=100，X=2，M=16。整个计算过程如下。

	x	ans
A1	A1=2%16=2	ans=2
A2	A2=(2*2)%16=4	ans=6
A3	A3=(4*4)%16=0	ans=6
A4	A4=(0*0)%16=0	ans=6
......

样例 3

根据输入可得，N=10000000000，X=10，M=99959。我去，这个 N 太大了，我还是算了。

题目分析

看上去好像比较简单啊，但是是 E 题，难度在哪里？当看到 N 的最大值是 1e10 的时候，就知道了，直接暴力枚举肯定是 TLE。

暴力枚举代码

//https://atcoder.jp/contests/abc179/tasks/abc179_e
#include <iostream>

using namespace std;

typedef unsigned long long ULL;

ULL qmi(ULL a, ULL b, ULL mo) {
    ULL res=1;
    while(b) {
        if (b&1) {
            res=res*a%mo;
        }
        a=a*a%mo;
        b>>=1;
    }
    return res;
}

int main() {
    ULL  n,x,m;
    cin>>n>>x>>m;

    ULL ans=0;
    for (int i=1; i<=n; i++) {
        ans+=x;
        x=qmi(x,2,m);
        //cout<<"n="<<i<<",sum="<<ans<<"\n";
        if (0==x) {
            break;
        }
    }

    cout<<ans<<"\n";

    return 0;
}

可以看到只有一些小数据测试用例可以通过，其他都是 TLE。

其实不需要使用快速幂，因为我们每次就是平方操作。

优化

好吧，我们开始优化环节，让我们再次阅读一下题目，我们可以发现在每次进行运算的时候，需要对 M 进行取模，而 M 的最大值为 1e5，也就是说明根据构造的函数 f(x, m) 计算出的数据可能性也就是 0 ~ 1e5-1，一共 1e5 个。也就是我们计算 Ai 的时候必然会出现循环部分，那么我们的优化就是找出这个循环部分。这样将 N 的数量级降低到了 1e5，那么我们就可以通过了。

所谓的优化，就是记录 Ai 落在 1e5 范围的数据即可。

首先，我们看在题目需要计算的是 A1+A2+...+An 的和，这样我们可以使用前缀和来降低复杂度。

我们使用两个数组，一个数组记录 Ai 的 A1+A2+...+Ai 的前缀和，另外一个数组记录 Ai 的位置。这两个数组的大小都是 1e5+4。使用数组 idx 存放索引，使用数组 sum 存放前缀和。

样例数据分析

样例 1

根据输入可得，N=6，X=2，M=1001。这样，我们可以得到优化算法的计算过程。

初始状态

第一次。A1=2%1001=2，而 idx[2]=0，说明数据没有计算。计算得 sum[1]=2。

第二次。A2=2*2%1001=4，由于 idx[4]=0，说明数据没有计算，计算得 sum[2]=6。

第三次。A3=4*4%1001=16，由于 idx[16]=0，说明数据没有计算，计算得 sum[3]=22。

第四次。A4=16*16%1001=256，由于 idx[256]=0，说明数据没有计算，计算得 sum[4]=278。

第五次。A5=278*278%1001=471，由于 idx[471]=0，说明数据没有计算，计算得 sum[5]=749。

第六次。A6=471*471%1001=620，由于 idx[620]=0，说明数据没有计算，计算得 sum[6]=1369。

第七次。A7=620*620%1001=16，由于 idx[16]=3，说明数据已经计算，开始循环。这样我们就通过打表找到了循环。

下面我们需要做的就是查找出起点（left）和终点（right），在数组 sum 中找到最终的答案。

优化后代码

//https://atcoder.jp/contests/abc179/tasks/abc179_e
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

typedef unsigned long long ULL;

const int MAXN=1e5+4;
int idx[MAXN];//和位置索引
ULL sum[MAXN];//和

int main() {
    ULL  n,x,m;
    cin>>n>>x>>m;

    //打表
    ULL now;//当前Ai的值
    ULL cnt;//位置
    ULL l;//索引起点
    ULL r;//索引终点
    for (cnt=1, now=x; ; now=now*now%m, cnt++) {
        if (!idx[now]) {
            //没有计算过，标注已经计算
            idx[now]=cnt;
        } else {
            //数据存在
            l=idx[now];
            r=cnt-1;
            break;
        }
        //更新数据表
        sum[cnt]=sum[cnt-1]+now;
    }

    ULL len=r-l+1;
    ULL ans=0;
    ans+=sum[min(n, l-1)];
    
    n=max(0ULL, n-l+1);
    if (n) {
        ans+=(sum[r]-sum[l-1])*(n/len)+(sum[n%len+l-1]-sum[l-1]);
    }

    cout<<ans<<"\n";

    return 0;
}