洛谷题解——P2043 质因子分解

最新推荐文章于 2025-09-13 19:05:02 发布

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#洛谷题解 #P2043 #质因子分解 #数论

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洛谷题解

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本文介绍了一种高效算法，用于对N!进行质因数分解，适用于N小于等于10000的情况。文章详细解释了如何避免直接计算N!，而是通过循环分解1到N的每个数来获取所有质因数及其指数。

题目相关

题目链接

洛谷，https://www.luogu.com.cn/problem/P2043。

我的OJ，http://47.110.135.197/problem.php?id=5279。

题目描述

对 N! 进行质因子分解。

输入格式

输入数据仅有一行包含一个正整数 N，N <= 10000。

输出格式

输出数据包含若干行，每行两个正整数 p,a，中间用一个空格隔开。表示 N! 包含 a 个质因子 p，要求按 p 的值从小到大输出。

输入样例

输出样例

样例说明

$10!=3628800=(2^8)*(3^4)*(5^2)*7$

数据规模

N ≤ 10000。

题解报告

题意分析

非常简单的一个质因数分解题目。属于数论的知识点。

本题唯一的难度在于不能直接求解 N!，因为我们知道 C++ 中固有数据类型中，能表示最大的数据为 2^64-1，也就是 unsigned long long 类型。有些记不清楚了，好像 23! 就超过了 2^64-1 这个数据。而题目中给出的 N 最大值为 1000。

本题为的考点就是数论中的质因数分解。我们可以参考质数判定来实现，再使用 STL 中的 map 这个数据类型对结果进行保存，就可以满足本题的要求。

质因数分解

思路就是从 2 开始，利用质数逐一判断。代码如下。

map<int, int> ans;

//对x求质因数
void factor(int x) {
    for (int i=2; i*i<=x; i++) {
        while (0==x%i) {
            ans[i]++;
            x /= i;
        }
    }
    if (x>1) {
        ans[x]++;
    }
}

注意函数中的 for 循环里套了一个 while 循环，其目的是实现对某个质数幂进行判断。

如 1024 = 2^10，通过这个函数，我们可以分解出 2 和 10。

样例数据分析

N = 10，10! = 10*9*8*7*6*5*4*3*2，但是我们不能直接计算 10!，因为 N 大了，数据会超过 C++ 表示的范围，同时也是没有必要进行阶乘计算。我们只需要使用循环分解分别求 10、9、8、7、6、5、4、3、2 的质因数即可。

10 = (2^1) * (5^1)

9 = (3^2)

8 = (2^3)

7 = (7^1)

6 = (2^1) * (3^1)

5 = (5^1)

4 = (2^2)

3 = (3^1)

2 = (2^2)

这样，我们就知道了 10! 最终可以表示为：(2^8) * (3^4) * (5^2) * (7^1)。

数据规模分析

N ≤ 10000。同时通过上面的样例数据分析过程，我们可以推断，使用 int 表示足够。

算法思路

1、读入 N。

2、质因数分解函数。

3、从 2 到 N 循环，对每个 i 进行质因数分解。

4、输出。

AC 参考代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

map<int, int> ans;

//对x求质因数
void factor(int x) {
    for (int i=2; i*i<=x; i++) {
        while (0==x%i) {
            ans[i]++;
            x /= i;
        }
    }
    if (x>1) {
        ans[x]++;
    }
}

int main() {
    int n;
    cin>>n;

    for (int i=2; i<=n; i++) {
        factor(i);
    }

    map<int, int>::iterator it;
    for (it=ans.begin(); it!=ans.end(); it++) {
        cout << it->first << " " << it->second << endl;
    }
	
    return 0;
}