AtCoder题解——Beginner Contest 167——C - Skill Up

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AtCoder Beginner Contest 167 C题，https://atcoder.jp/contests/abc167/tasks/abc167_c。

Problem Statement

Takahashi, who is a novice in competitive programming, wants to learn M algorithms. Initially, his understanding level of each of the M algorithms is 0.

Takahashi is visiting a bookstore, where he finds NN books on algorithms. The i-th book (1 ≤ i ≤ N) is sold for Ci yen (the currency of Japan). If he buys and reads it, his understanding level of the jj-th algorithm will increase by Ai,j for each j (1 ≤ j ≤ M). There is no other way to increase the understanding levels of the algorithms.

Takahashi's objective is to make his understanding levels of all the M algorithms X or higher. Determine whether this objective is achievable. If it is achievable, find the minimum amount of money needed to achieve it.

Input

Input is given from Standard Input in the following format:

N M X
C1 A1,1 A1,2 ... A1,M
C2 A2,1 A2,2 ... A2,M
.
.
.
CN AN,1 AN,2 ... AN,M

Output

If the objective is not achievable, print -1; otherwise, print the minimum amount of money needed to achieve it.

Samples1

Sample Input 1

3 3 10
60 2 2 4
70 8 7 9
50 2 3 9

Sample Output 1

120

Explaination

Buying the second and third books makes his understanding levels of all the algorithms 10 or higher, at the minimum cost possible.

Sample Input 2

3 3 10
100 3 1 4
100 1 5 9
100 2 6 5

Sample Output 2

-1

Explaination

Buying all the books is still not enough to make his understanding levels of all the algorithms 10 or higher.

Sample Input 3

8 5 22
100 3 7 5 3 1
164 4 5 2 7 8
334 7 2 7 2 9
234 4 7 2 8 2
541 5 4 3 3 6
235 4 8 6 9 7
394 3 6 1 6 2
872 8 4 3 7 2

Sample Output 3

1067

Constraints

• All values in input are integers.
• 1 ≤ N, M ≤ 12
• 1 ≤ X ≤ 10^5
• 1 ≤ Ci ≤10^5
• 0 ≤ Ai,j ≤ 10^5

题解报告

本题含义

告诉我们 N 本书，M 个算法，第 i 本书的售价是 Ci，读第 i 本书对第 j 个算法理解能力将提升 Ai,j。要求我们找到最小的代价，满足我们对 M 个算法的理解都能到达 X。如果没有，输出 -1。

讲真，看到这个题目，当时就炸裂了。我去，AtCoder Beginner Contest 的惯例，前面 4 题基本都不涉及到复杂算法。看到本题，我的第一反应是背包问题。后面仔细分析完样例数据后，可以使用 DFS 来解决。

样例数据分析

从数学角度上看，本题就是满足条件的搜索过程。

样例数据1

根据样例数据 1，我们知道一共有 3 本书，3 种算法，要求达到 10 点了解度。下面我们将数据进行一下简单的加工，以方便我们分析。

(1) 60 2 2 4
(2) 70 8 7 9
(3) 50 2 3 9

每组数据前面括号表示编号。这样我们知道就是在全部的组合中找到最小的代价。因此我们的能的组合数为：

(1)
(2)
(3)
(1) (2)
(1) (3)
(2) (3)
(1) (2) (3)

上面什么意思呢？

1、读一本书，看是否满足对 M 种算法达到了解度 X。这样我们的组合可能性有 C(n, 1) 种，因此是 C(3, 1)=3，对应的可能性是(1)、(2)或者(3)。如果有满足条件，记录下最小的代价。

2、读两本书，看是否满足对 M 种算法达到了解度 X。这样我们的组合可能性有 C(n, 2) 种，因此是 C(3, 2)=3，对应的可能性是(1) (2)、(1) (3)或者(2) (3)。如果有满足条件，记录下最小的代价。

3、读两三书，看是否满足对 M 种算法达到了解度 X。这样我们的组合可能性有 C(n, 3) 种，因此是 C(3, 3)=1，对应的可能性是(1) (2) (3)。如果有满足条件，记录下最小的代价。

这样所有的组合搜索完成后，我们就可以得到答案。具体过程请参看下表。

方案	算法了解度	代价	结论
(1)	2 2 4	60	不满足要求
(2)	8 7 9	70	不满足要求
(3)	2 3 9	50	不满足要求
(1) (2)	10 9 13	130	不满足要求
(1) (3)	4 5 13	110	不满足要求
(2) (3)	10 10 18	120	满足要求
(1) (2) (3)	12 12 22	180	满足要求

根据上表，我们可以看出，满足所有算法都达到 10 了解度的解决方案有 2 种，即 (2) (3) 和 (1) (2) (3)，其中最小代价为 120。

样例数据2

样例数据 2 一共有 3 本书，3 种算法，要求达到 10 点了解度。

具体过程请参看下表。

方案	算法了解度	代价	结论
(1)	3 1 4	100	不满足要求
(2)	1 5 9	100	不满足要求
(3)	2 6 5	100	不满足要求
(1) (2)	4 6 13	200	不满足要求
(1) (3)	5 7 9	200	不满足要求
(2) (3)	3 11 14	200	不满足要求
(1) (2) (3)	6 12 18	300	不满足要求

根据上表，我们可以看出，没有满足所有算法都达到 10 了解度的解决方案，因此输出 -1。

样例数据3

样例数据 3 一共有 8 本书，5 种算法，要求达到 22 点了解度。因此一共有 C(8,1)+C(8,2)+C(8,3)+C(8,4)+C(8,5)+C(8,6)+C(8,7)+C(8,8)=8+28+56+70+56+26+8=254 种。

由于数据量比较大，我就不写了。

数据范围分析

N 的最大值为 12，因此计算量是有限的。C(12,1)+C(12,2)+C(12,3)+C(12,4)+C(12,5)+C(12,6)+C(12,7)+C(12,8)+C(12,9)+C(12,10)+C(12,11)+C(12,12)=12+66+220+495+792+924+792+495+220+66+12=4094 种。

X 的最大值为 10^5。int 表示可以解决。

Ci 的最大值为 10^5。因此 12 本书的价格最大值为 12*10^5=1.2*10^6，int 表示可以解决。

Ai,j 的最大值为 10^5。因此 12 本书的了解度最大值为 12*10^5=1.2*10^6，int 表示可以解决。

算法设计

通过分析，我们知道可以使用 DFS 来解决问题，因此本题套用 DFS 模板即可。DFS 的解题套路可以参考这个文章，https://blog.youkuaiyun.com/justidle/article/details/104925699。因此本题的算法就两步：

1、读入数据。

2、开始 DFS。

DFS 搜索顺序

我们参考样例输入 1 的数据，DFS 的搜索过程如下：

(1) -> (1) (2) -> (1) (2) (3) -> (2) -> (2) (3) -> (1) (3) -> (3)

AC 参考代码