Educational Codeforces Round 13 E. Another Sith Tournament 状压dp

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题意：有n(n≤18)个人打擂台赛，编号从1到n，主角是1号。一开始主角先选一个擂主，和一个打擂的人。两个人之中胜的人留下来当擂主等主角决定下一个人打擂，败的人退出比赛，直到比赛只剩一个人。已知任意两人之间决胜的胜率Pij，求主角最终能够获胜的概率。
解法：设d(S,i)表示存活的人的集合为S，当前擂主为i∈S，主角获胜的概率。
为了方便我们把编号设为0∼n−1，递推边界d(1,0)=1
考虑d(S,i)，枚举下一个要打擂的人j∈S Pij的概率i战胜j，擂主为i，状态转移到d(S−j,i)
Pji的概率j战胜i，擂主为j，状态转移到d(S−i,j)。因为主角可以决定打擂人选j，所以d(S,i)=max{Pijd(S−j,i)+Pjid(S−i,j)}，最后枚举最开始的擂主，选一个最大值就是答案。

//CF 678E

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

double p[18][18], dp[1<<18][18];//dp[i][j]当前存活的人的结合为i，当前擂主为j
int n;
//注意，序号是0-(n-1)
int main(){
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 0; i < n; i++){
        for(int j = 0; j < n; j++){
            scanf("%lf", &p[i][j]);
        }
    }
    dp[1][0] = 1.0;//初始化，只有1号选手一个人，并且他是擂主了
    for(int i = 0; i < (1<<n); i++){
        for(int j = 0; j < n; j++){
            if(i&(1<<j)){
                for(int k = 0; k < n; k++){
                    if(i&(1<<k)&&(k!=j)){
                        dp[i][j] = max(dp[i][j], p[j][k]*dp[i^(1<<k)][j] + p[k][j]*dp[i^(1<<j)][k]);
                    }
                }
            }
        }
    }
    double ans = 0;
    for(int i = 0; i < n; i++) ans = max(ans, dp[(1<<n)-1][i]);
    printf("%.10f\n", ans);
    return 0;
}