25、密码攻击与自动机关系研究-优快云博客

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密码攻击与自动机关系研究

攻击 BEAR 和 LION 方案

在实际场景中对 BEAR 和 LION 方案的攻击研究中，我们发现良好配对假设并非必要。原本对定理证明中的良好配对无用假设可以去除，从而证明原始的结论。

对于随机的 $Y$，通常不需要假设 $H^{-1}(Y) \cap Im(S) \neq \emptyset$，因为对于合适的 $R$，$H^{-1}(Y) \cap (Im(S) + R) \neq \emptyset$ 几乎总是成立。

有这样一个定理：给定一个明文 - 密文对就能找到 LION 密钥的预言机 $A_1$，能够高效且高概率地找到哈希函数 $H$ 的原像和碰撞。证明过程如下：
1. 考虑某个 $\tilde{R}$ 和 $Y = H(\tilde{R})$，高概率找到 $R$ 使得 $H^{-1}(Y) \cap (Im(S) + R) \neq \emptyset$。
2. 固定某个元素 $L \in F_l$，存在 $K_1$ 使得 $\overline{R} \in H^{-1}(Y)$，其中 $\overline{R} = S(L + K_1) + R$，并且可假设 $\overline{R} \neq \tilde{R}$。
3. 得到 $L’ = L + H(\overline{R}) = L + Y$。
4. 当 $K_2 = K_1 + Y$ 时，$R’ = S(L + K_1) + R + S(L + Y + K_1 + Y) = R$。
5. 将 $((L, R), (L + Y, R))$ 作为输入给 $A_1$，它返回 $(K_1, K_2)$。
6. 计算 $\overline{R} = S(L + K_1) + R$，就有 $H(\overline{R}) = Y$，找到碰撞 $H(\tilde{R}) = H(\overline{R}) = Y$。

若要找到原像，对于给定的 $Y$，假设不知道 $\tilde{R}$，也可按上述方法论证。

加权重启自动机与下推关系

加权重启自动机被引入用于研究重启自动机计算的定量方面。这里我们研究从给定（输出）字母表上的形式语言半环中分配单词作为权重的特殊情况，从而推广了重启转换器的概念。

加权重启自动机

基本定义 ：重启自动机（RRWW - 自动机）是一种非确定性机器，由 8 元组 $M = (Q, \Sigma, \Gamma, c, $, q_0, k, \delta)$ 描述。其中，$Q$ 是有限状态集，$\Sigma$ 是有限输入字母表，$\Gamma$ 是包含 $\Sigma$ 的有限磁带字母表，$c$ 和 $ $ 是工作空间左右边界标记，$q_0$ 是初始状态，$k$ 是读写窗口大小，$\delta$ 是（部分）转换关系。转换步骤有四种类型：右移步骤（MVR）、重写步骤、重启步骤和接受步骤。若每个重写步骤与重启步骤合并为一个联合重写/重启操作，则称为 RWW - 自动机。
配置与计算阶段 ：自动机的配置是字符串 $\alpha q \beta$，重启配置形式为 $q_0 c w $。计算由周期和尾阶段组成，周期从重启配置开始，执行右移和单个重写操作直到重启，尾阶段是最后无重启的停机阶段。单词 $w \in \Sigma^*$ 被接受当且仅当存在从初始配置 $q_0 c w $ 开始的接受计算。
单调性 ：对于 RRWW - 自动机的重写配置 $C := \alpha q \beta$，$|\beta|$ 称为右距离 $Dr(C)$。重写配置序列 $S = (C_1, C_2, \ldots, C_n)$ 是单调的当且仅当 $Dr(C_1) \geq Dr(C_2) \geq \cdots \geq Dr(C_n)$。自动机的计算是单调的当且仅当其周期中的重写配置序列是单调的，若所有从初始配置开始的计算都是单调的，则自动机是单调的。
加权重启自动机 ：类型为 $X$ 的加权重启自动机（wX - 自动机）是对 $(M, \omega)$，其中 $M$ 是类型为 $X$ 的重启自动机，$\omega$ 是从 $M$ 的转换到半环 $S$ 的权重函数。这里 $S$ 是语言半环 $S = (P(\Delta^ ), \cup, \cdot, \emptyset, {\lambda})$。对于输入 $w$ 的接受计算集合 $ACM(w)$，每个计算 $A_i$ 的权重 $\omega(A_i)$ 是其使用转换权重的乘积，最终 $f_M^\omega(w)$ 是所有接受计算权重的并集。若 $w \notin L(M)$，则 $f_M^\omega(w) = \emptyset$。加权重启自动机 $M$ 在 $\Sigma$ 上产生关系 $Rel(M) = { (u, v) | u \in L(M), v \in f_M^\omega(u) } \subseteq \Sigma^ \times \Delta^*$。
受限类型 ：
- 有限加权重启自动机（wFINX - 自动机）：权重函数 $\omega$ 将转换映射到形式为 $S = (P_{fin}(\Delta^*), \cup, \cdot, \emptyset, {\lambda})$ 的半环。
- 单词加权重启自动机（wwordX - 自动机）：每个转换 $t$ 的权重形式为 $\omega(t) = {v}$，其中 $v \in \Delta^*$。

对于每种类型 $X \in {mon - RWW, mon - RRWW, RWW, RRWW}$，有 $R(wwordX) = R(wFINX) \subsetneq R(wX)$。

下面是一个加权重启自动机计算关系的简单例子：
设 $M_1 = (Q, \Sigma, \Gamma, c, $, q_0, k, \delta)$ 是一个 mon - RWW - 自动机，其中 $Q := {q_0}$，$\Gamma := \Sigma := {a}$，$k := 2$，$\delta$ 定义如下：

t1 : (q0, ca) → (q0, MVR)
t3 : (q0, aa) → (q0, MVR)
t2 : (q0, c$) → Accept
t4 : (q0, a$) → $

这里 $t4$ 是唯一的（组合）重写/重启操作，$L(M_1) = { a^n | n \geq 0 }$。
设 $(P_{fin}(\Delta^*), \cup, \cdot, \emptyset, {\lambda})$ 是 $\Delta = {c}$ 上的有限语言半环，$\omega_1$ 是权重函数，将 MVR 转换 $t1$ 和 $t3$ 赋予集合 ${c}$，其他转换赋予集合 ${\lambda}$，则：
[
f_{M_1}^{\omega_1}(w) =
\begin{cases}
{c^{\frac{1}{2}(n + 1)n}}, & \text{for } w = a^n, n \geq 0 \
\emptyset, & \text{for } w \notin L(M_1)
\end{cases}
]
因此，$Rel(M_1) = { (a^n, c^{\frac{1}{2}(n + 1)n}) | n \geq 0 }$。

重启转换器是一种配备额外输出函数的重启自动机，为每个重启和接受转换给出输出单词，是单词加权重启自动机的特殊类型，用 $R(X - Td)$ 表示其计算的关系类。

下推关系

下推转换器（PDT）由 8 元组 $T = (Q, \Sigma, \Delta, X, q_0, Z_0, F, E)$ 定义，其中 $Q$ 是有限状态集，$\Sigma$ 是输入字母表，$\Delta$ 是输出字母表，$X$ 是下推字母表，$q_0$ 是初始状态，$Z_0$ 是下推底部标记，$F$ 是最终状态集，$E$ 是有限转换关系。

下推转换器的配置是 4 元组 $(q, u, \alpha, v)$，其计算的关系 $Rel(T)$ 定义为：
[
Rel(T) = { (u, v) \in \Sigma^ \times \Delta^ | \exists q \in F, \alpha \in X^ : (q_0, u, Z_0, \lambda) \vdash^ (q, \lambda, \alpha, v) }
]
- 下推关系分类 ：
- 下推关系（PDR）：若 $R = Rel(T)$ 对于某个 PDT $T$ 成立，则 $R$ 是下推关系，用 PDR 表示所有下推关系的类。
- 线性有界下推关系（lbPDR）：存在常数 $c \in N$ 使得对于所有 $(u, v) \in R$ 有 $|v| \leq c \cdot |u|$ 的下推关系。
- 实时下推关系（rtPDR）：由不执行任何 $\lambda$ - 步骤的 PDT 计算的下推关系。
- 准实时下推关系（qrtPDR）：每个 $\lambda$ - 步骤弹出下推符号的 PDT 计算的下推关系。

它们之间的关系为：$rtPDR \subsetneq qrtPDR \subsetneq lbPDR \subsetneq PDR$。证明如下：
- 包含关系 ：
- $rtPDR \subset qrtPDR$ 和 $lbPDR \subset PDR$ 很明显。
- 对于 $qrtPDR \subset lbPDR$，假设 $R$ 由准实时 PDT $T$ 计算，对于 $(u, v) \in R$，读取输入符号时 $T$ 最多压入 $c \cdot |u|$ 个符号，最多执行 $c \cdot |u|$ 个 $\lambda$ - 转换，所以输出 $v$ 满足 $|v| \leq d \cdot (c + 1) \cdot |u|$，其中 $d$ 是单个步骤产生的输出字符串的最大长度。
- 真包含关系 ：
- 转换 $R_{uu^R} = { (u, uu^R) | u \in {a, b}^* }$ 是准实时的，但不是实时的。
- 关系 $R_{a^m b^m c^n} = { (a^m b^m c^n, c^n a^m b^m) | m, n \geq 1 }$ 是线性有界下推关系，但不是准实时的。
- 关系 $R_+ = { (a^m, b^n a^m b^n) | m, n \geq 1 }$ 是下推关系，但不是线性有界的。

下推关系可以用上下文无关语言和态射来刻画。语言 $L \subseteq \Gamma^ $ 刻画关系 $R \subseteq \Sigma^ \times \Delta^ $ 是指存在两个态射 $h_1 : \Gamma^ \to \Sigma^ $ 和 $h_2 : \Gamma^ \to \Delta^*$ 使得 $R = { (h_1(w), h_2(w)) | w \in L }$。下推关系由上下文无关语言刻画，对于 $\Sigma$ 和 $\Delta$ 不相交的情况，下推关系由上下文无关语言强刻画。并且每个线性有界下推关系都由上下文无关语言强刻画。

下面用 mermaid 流程图展示下推关系的分类：

graph LR
    classDef startend fill:#F5EBFF,stroke:#BE8FED,stroke-width:2px;
    classDef process fill:#E5F6FF,stroke:#73A6FF,stroke-width:2px;
    A([下推关系 PDR]):::startend --> B(线性有界下推关系 lbPDR):::process
    B --> C(准实时下推关系 qrtPDR):::process
    C --> D(实时下推关系 rtPDR):::process

综上所述，我们对攻击 BEAR 和 LION 方案以及加权重启自动机与下推关系进行了深入研究，了解了它们的基本概念、性质和相互关系。这些研究对于密码学和自动机理论的发展具有重要意义。在后续研究中，我们可以进一步探索加权重启自动机的计算能力，以及如何利用这些理论解决实际问题。

密码攻击与自动机关系研究

重启转换器与下推关系的深入探讨

重启转换器作为单词加权重启自动机的特殊类型，其计算的关系类 $R(X - Td)$ 与各类下推关系有着紧密的联系。下面我们将详细分析不同类型的重启转换器和下推关系之间的关联。

重启转换器的特点

重启转换器在重启自动机的基础上，增加了额外的输出函数，为每个重启和接受转换给出输出单词。这使得它在处理输入时能够产生特定的输出，从而实现输入到输出的转换关系。例如，在处理自然语言句子时，重启转换器可以根据输入的句子结构，通过一系列的转换步骤，输出符合语法规则的简化形式。

与下推关系的比较

加权重启自动机的计算能力分析

加权重启自动机通过为重启自动机的每个转换分配权重，引入了定量计算的概念。不同类型的加权重启自动机，如有限加权重启自动机和单词加权重启自动机，具有不同的计算能力。

不同类型加权重启自动机的比较

我们已经知道对于每种类型 $X \in {mon - RWW, mon - RRWW, RWW, RRWW}$，有 $R(wwordX) = R(wFINX) \subsetneq R(wX)$。下面我们通过具体的例子来进一步说明它们之间的差异。

假设我们有一个简单的输入字母表 $\Sigma = {a, b}$ 和输出字母表 $\Delta = {c, d}$。

单词加权重启自动机（wwordX - 自动机） ：每个转换的权重是一个单单词集合，例如 $\omega(t) = {v}$，其中 $v \in \Delta^*$。这种类型的自动机在处理输入时，输出的权重组合相对简单，因为每个转换的权重是固定的单个单词。例如，对于输入 $a^n$，它可能输出一系列固定的单词组合。
有限加权重启自动机（wFINX - 自动机） ：权重函数将转换映射到有限语言半环 $S = (P_{fin}(\Delta^*), \cup, \cdot, \emptyset, {\lambda})$。这意味着每个转换的权重可以是一个有限的单词集合，输出的权重组合更加多样化。例如，对于相同的输入 $a^n$，它可能输出多种不同的单词组合。
一般加权重启自动机（wX - 自动机） ：权重函数将转换映射到语言半环 $S = (P(\Delta^*), \cup, \cdot, \emptyset, {\lambda})$，权重可以是任意的语言集合。这种类型的自动机具有最强的计算能力，能够处理更复杂的输入和输出关系。例如，它可以根据输入的不同模式，输出不同的语言集合。

下面用 mermaid 流程图展示不同类型加权重启自动机的关系：

graph LR
    classDef startend fill:#F5EBFF,stroke:#BE8FED,stroke-width:2px;
    classDef process fill:#E5F6FF,stroke:#73A6FF,stroke-width:2px;
    A([一般加权重启自动机 R(wX)]):::startend --> B(有限加权重启自动机 R(wFINX)):::process
    B --> C(单词加权重启自动机 R(wwordX)):::process

应用场景分析

加权重启自动机的不同计算能力决定了它们在不同场景下的应用。

单词加权重启自动机 ：适用于处理简单的、固定模式的输入输出关系，例如文本的简单转换，如大小写转换、简单的字符替换等。
有限加权重启自动机 ：可以处理一些具有一定复杂性的输入输出关系，如自然语言的简单语法检查、模式匹配等。
一般加权重启自动机 ：可用于处理复杂的计算任务，如自然语言的语义分析、图像识别中的特征提取等。

总结与展望

本文对攻击 BEAR 和 LION 方案、加权重启自动机与下推关系进行了全面的研究。在攻击 BEAR 和 LION 方案中，我们明确了良好配对假设并非必要，并证明了相关定理。在加权重启自动机与下推关系方面，我们详细介绍了加权重启自动机的定义、类型和计算能力，以及下推关系的分类和特点，并分析了它们之间的相互关系。

未来的研究方向可以从以下几个方面展开：
1. 加权重启自动机的优化 ：研究如何优化加权重启自动机的结构和权重分配，以提高其计算效率和处理复杂问题的能力。例如，探索更有效的权重更新算法，减少计算过程中的冗余操作。
2. 与实际应用的结合 ：将加权重启自动机和下推关系的理论应用到实际领域中，如自然语言处理、数据挖掘、人工智能等。例如，利用加权重启自动机进行文本分类、情感分析等任务。
3. 新的自动机模型的探索 ：基于现有的研究成果，探索新的自动机模型，以满足不断增长的计算需求。例如，结合量子计算的概念，开发量子加权重启自动机。

通过不断深入研究和探索，我们有望在密码学和自动机理论领域取得更多的突破，为解决实际问题提供更有效的方法和工具。