22、椭圆曲线参数搜索与上下文无关树文法成员问题研究

椭圆曲线参数搜索与上下文无关树文法成员问题研究

椭圆曲线参数搜索相关内容

在椭圆曲线的研究中，我们关注迹 (t)、群阶 (\ell) 和嵌入度 (k) 之间的关系。通过一系列推导得出了重要定理，描述了它们之间的具体联系。
- 定理 2 ：设 (r, \lambda \in Z (r \geq 0, \lambda > 0))，(L) 为正整数，(t) 为迹，(k) 为 (E(F_p)) 的嵌入度，且 (E(F_p)) 的阶 (#E(F_p) = n = h\ell)，则有以下关系：
- 若 (L = q\eta) 为素数 (q) 的奇数倍，(\ell = \frac{(t - 1)^{2r}L + 1}{\lambda((t - 1)^{2r}\eta + 1)}(t - 1 \neq 0))，且 ((t - 1)^{2r}\eta \not\equiv -1 \pmod{\ell})，则 (k = 2^{r + 1}L)。
- 若 (L = 2\beta) 为偶数（(\beta \geq 2)），且 (\ell = \frac{(t - 1)^{2r}\beta + 1}{\lambda}(t - 1 \neq 0))，满足 ([(t > 1) \land (\lambda > 0)] \lor [(t < 1) \land (\text{even }\beta) \land (\lambda > 0)] \lor [(t < 1) \land (r > 0) \land (\lambda > 0)] \lor [(t < 1) \land (r = 0) \land (\lambda < 0)]) 中的任一条件，则 (k = 2^rL)。

基于此定理，我们提出了两个搜索算法，用于输出椭圆曲线的相关参数。
- 算法 1：搜索 (#E(F_p) = n = h \cdot \ell) 且 (k = 2^{r + 1}L)（(L) 为奇数）
1. 输入：(k = 2^{r + 1}L)，(t_{min})，(t_{max})，(h_{max}) 和 (Lev)。
2. 步骤：
- 步骤 1：将 (S) 设为 (L) 的素因子集合。
- 步骤 2：对于 (S) 中的每个 (q)，执行以下操作：
- 步骤 3：计算 (\eta \leftarrow L / q)。
- 步骤 4：当 (|t| \in [t_{min}, t_{max}]) 时，执行以下操作：
- 步骤 5：计算 (\Gamma \leftarrow \frac{(t - 1)^{2r}L + 1}{(t - 1)^{2r}\eta + 1})。
- 步骤 6：若 ((t - 1)^{2r}\eta \equiv -1 \pmod{\ell})，则转到步骤 4 处理下一个 (t)。
- 步骤 7：若 (\Gamma) 的最大素因子 (\ell) 满足 (\ell < Lev)，则转到步骤 4 处理下一个 (t)。
- 步骤 8：对于 (h) 从 1 到 (h_{max})，执行以下操作：
- 步骤 9：设置 (n \leftarrow h \cdot \ell)，(p \leftarrow n + t - 1)。
- 步骤 10：若 (p) 是素数，则输出 ({t, p_1, n, \ell})。

• 算法 2：搜索 (#E(F_p) = n = h \cdot \ell) 且 (k = 2^{r + 1}L)（(L) 为奇数且 (r > 0)）

  1. 输入：(k = 2^{r + 1}L)，(t_{min})，(t_{max})，(h_{max}) 和 (Lev)。
  2. 步骤：
     • 步骤 1：将 (S) 设为 (L) 的素因子集合。
     • 步骤 2：对于 (S) 中的每个 (q)，执行以下操作：
       • 步骤 3：计算 (\eta \leftarrow L / q)。
       • 步骤 4：对于 (t) 从 (t_{max}) 到 (t_{min})，执行以下操作：
         • 步骤 5：计算 (\Gamma \leftarrow \frac{(t - 1)^{2r}L + 1}{(t - 1)^{2r}\eta + 1})。
         • 步骤 6：若 ((t - 1)^{2r}\eta \equiv -1 \pmod{\ell})，则转到步骤 4 处理下一个 (t)。
         • 步骤 7：若 (\Gamma) 的最大素因子 (\ell) 满足 (\ell < Lev)，则转到步骤 4 处理下一个 (t)。
         • 步骤 8：对于 (h) 从 1 到 (h_{max})，执行以下操作：
           • 步骤 9：设置 (n \leftarrow h \cdot \ell)，(p_1 \leftarrow n + t - 1)。
           • 步骤 10：若 (p_1) 是素数，则输出 ({t, p_1, n, \ell})。
           • 步骤 11：若 (t \geq t_{min} + 2)，则设置 (p_2 \leftarrow n + (2 - t) - 1 = n - t + 1)。
           • 步骤 12：若 (p_2) 是素数，则输出 ({2 - t, p_2, n, \ell})。
       • 步骤 13：设置 (t \leftarrow -t_{max}) 或 (-t_{max} + 1)，并执行步骤 4 到 16 的相同操作。

• 算法 3：搜索 (#E(F_p) = n = h \cdot \ell) 且 (k = 2^rL)（(L = 2\beta) 为偶数）

  1. 输入：(k = 2^rL = 2^{r + 1}\beta)，(t_{max})，(h_{max}) 和 (Lev)。
  2. 步骤：
     • 步骤 1：设置 (\beta \leftarrow L / 2)。
     • 步骤 2：当 (|t| \in [t_{min}, t_{max}]) 时，执行以下操作：
       • 步骤 3：设置 (\Gamma \leftarrow (t - 1)^{2r}\beta + 1)。
       • 步骤 4：若 (\Gamma) 的最大素因子 (\ell) 满足 (\ell < Lev)，则转到步骤 4 处理下一个 (t)。
       • 步骤 5：对于 (h) 从 1 到 (h_{max})，执行以下操作：
         • 步骤 6：设置 (n \leftarrow h \cdot \ell)，(p_1 \leftarrow n + t - 1)。
         • 步骤 7：若 (p_1) 是素数，则输出 ({t, p_1, n, \ell})。

我们还对这些算法的结果进行了比较，通过与 Hirasawa, Miyaji 的结果对比，发现将 (n) 从素数变为近素数时，椭圆曲线参数的数量显著增加，但找到阶接近素数的曲线仍然较为困难。以下是部分比较结果的表格：
| (k) | (r) | (L) | (#{n, p_m, t}) | 大小 (D) |
| — | — | — | — | — |
| 10 | 0 | 5 | 225 | 141 ∼ 160 |
| 12 | 1 | 3 | 136 | 137 ∼ 160 |
| 14 | 0 | 7 | 135 | 138 ∼ 160 |
| 20 | 1 | 5 | 180 | 137 ∼ 160 |
| 24 | 2 | 3 | 84 | 139 ∼ 160 |

上下文无关树文法成员问题相关内容

上下文无关树文法（cftg）将上下文无关重写的概念推广到树语言领域。它与索引文法密切相关，其产生的语言恰好是索引语言。我们主要研究上下文无关树文法的均匀成员问题的计算复杂度。
- 问题定义 ：
- 均匀成员问题 ：输入为上下文无关树文法 (G) 和树 (\xi \in T_{\Sigma})，问题是判断 (\xi \in L(G)) 是否成立。
- 非均匀成员问题 ：输入为树 (\xi \in T_{\Sigma})，对于固定的上下文无关树文法 (G)，判断 (\xi \in L(G)) 是否成立。

为了证明均匀成员问题属于 PSPACE，我们从上下文无关树文法 (G) 出发，通过一系列中间步骤构造了一个等价的下推树自动机（pta）(M^{\dagger})，并证明了 (M^{\dagger}) 可以在多项式空间中实现。
- 上下文无关树文法和下推自动机的定义 ：
- 上下文无关树文法（cftg） ：一个上下文无关树文法 (G = (N, \Sigma, S, P)) 由不相交的有秩字母表 (N)（非终结符）和 (\Sigma)（终结符）、起始符号 (S \in N^{(0)}) 以及有限的产生式集合 (P) 组成。产生式形式为 (A(x_1, \ldots, x_k) \to \xi)，其中 (A \in N^{(k)})，(\xi \in T_{N \cup \Sigma}(X_k))。
- 下推树系统（pts） ：一个下推树系统 (M = (Q, \Sigma, \Gamma, q_0, R)) 由字母表 (Q)（状态）、有秩字母表 (\Sigma)、非空集合 (\Gamma)、初始状态 (q_0 \in Q) 和规则集合 (R) 组成。规则有三种形式：
- (q(y) \to \sigma(p_1(y), \ldots, p_k(y)))。
- (q(y) \to p(\gamma y))。
- (q(\gamma y) \to p(y))。
当下推树系统的 (\Gamma) 为有限集时，我们称其为下推树自动机（pta）。

通过构造 (M^{\dagger})，我们不仅证明了上下文无关树文法的均匀成员问题是 PSPACE 完全的，还给出了一个替代证明，表明相应的非均匀成员问题属于 NP。同时，还得到了关于无 (\epsilon) 索引文法均匀成员问题的一个推论。

综上所述，我们在椭圆曲线参数搜索和上下文无关树文法成员问题的研究中取得了重要成果，为相关领域的进一步发展提供了理论支持和算法基础。

椭圆曲线参数搜索算法的进一步分析

在椭圆曲线参数搜索过程中，我们还关注了一些其他重要的指标，如比率 (\rho = \frac{\log p}{\log \ell})，它被设定在 (1 \leq \rho < 2) 的理想范围内，以确保安全且高效的实现。同时，还会计算 CM 判别式 (D)。

在算法执行过程中，我们发现一些有趣的特性。例如在算法 1 和算法 2 中，当 (r > 0) 时，(\Gamma = \frac{(t - 1)^{2r}L + 1}{(t - 1)^{2r}\eta + 1}) 对于 (t) 和 (-t + 2) 具有相同的值。这意味着在找到某个 (t) 对应的 (\Gamma) 的最大素因子 (\ell) 后，我们可以将该 (\ell) 应用于 (-t + 2)。当追踪值为 (-t + 2) 时，(p = n + (-t + 2) - 1 = n - t + 1)。因此，在检查 (|t| \in [t_{min}, t_{max}]) 时，一些负的 (t) 值可以被跳过，从而提高搜索效率。这一特性在算法 2 中得到了体现，其流程图如下：

graph TD;
    A[开始] --> B[设置 S 为 L 的素因子集合];
    B --> C[遍历 S 中的 q];
    C --> D[计算 η = L / q];
    D --> E[遍历 t 从 tmax 到 tmin];
    E --> F[计算 Γ = ((t - 1)^(2r)L + 1) / ((t - 1)^(2r)η + 1)];
    F --> G{检查 (t - 1)^(2r)η ≡ -1 (mod ℓ)};
    G -- 是 --> E;
    G -- 否 --> H{检查 Γ 的最大素因子 ℓ < Lev};
    H -- 是 --> E;
    H -- 否 --> I[遍历 h 从 1 到 hmax];
    I --> J[设置 n = h * ℓ, p1 = n + t - 1];
    J --> K{检查 p1 是素数};
    K -- 是 --> L[输出 {t, p1, n, ℓ}];
    K -- 否 --> M{检查 t ≥ tmin + 2};
    M -- 是 --> N[设置 p2 = n - t + 1];
    N --> O{检查 p2 是素数};
    O -- 是 --> P[输出 {2 - t, p2, n, ℓ}];
    O -- 否 --> I;
    M -- 否 --> I;
    I --> Q{h 遍历完};
    Q -- 否 --> I;
    Q -- 是 --> R{q 遍历完};
    R -- 否 --> C;
    R -- 是 --> S[设置 t = -tmax 或 -tmax + 1];
    S --> E;

在算法 3 中，当 (r > 0) 或者 ((r = 0)) 且 (x) 为偶数时，我们可以以与处理正追踪值相同的方式搜索负追踪值对应的曲线参数。但如果 ((r = 0) 且 (x) 为奇数)，负追踪值会导致 (\Gamma = \frac{(t - 1)^{2r}L - 1}{(t - 1)^{2r}x - 1}) 为负，从而无法检查对应的 (p) 值。

上下文无关树文法成员问题的深入探讨

上下文无关树文法（cftg）的均匀成员问题和非均匀成员问题在理论和实践中都具有重要意义。我们已经证明了均匀成员问题是 PSPACE 完全的，下面我们进一步分析其证明过程和相关应用。

在构造等价的下推树自动机 (M^{\dagger}) 时，我们通过一系列中间步骤将上下文无关树文法 (G) 转换为 (M^{\dagger})。这个过程可以用以下步骤列表来表示：
1. 从上下文无关树文法 (G = (N, \Sigma, S, P)) 出发。
2. 定义下推树系统 (M = (Q, \Sigma, \Gamma, q_0, R)) 的基本结构。
3. 根据 (G) 的产生式集合 (P) 生成 (M) 的规则集合 (R)。
4. 确保 (M) 的规则满足三种特定形式：
- (q(y) \to \sigma(p_1(y), \ldots, p_k(y)))（停留规则）。
- (q(y) \to p(\gamma y))（压栈规则）。
- (q(\gamma y) \to p(y))（弹栈规则）。
5. 当 (\Gamma) 为有限集时，将 (M) 确定为下推树自动机 (M^{\dagger})。

通过这个构造过程，我们可以在多项式空间中实现 (M^{\dagger})，从而证明上下文无关树文法的均匀成员问题属于 PSPACE。同时，利用 (M^{\dagger}) 我们还给出了非均匀成员问题属于 NP 的另一种证明。

在实际应用中，上下文无关树文法和下推树自动机可以用于自然语言处理、编译器设计等领域。例如在自然语言处理中，它们可以用于处理特定的语言现象，如语法分析和语义理解。

总结与展望

通过对椭圆曲线参数搜索和上下文无关树文法成员问题的研究，我们取得了一系列重要成果。在椭圆曲线参数搜索方面，我们提出了三个搜索算法，通过算法优化和特性利用，提高了搜索效率。同时，通过与其他结果的比较，我们发现将 (n) 从素数变为近素数时，椭圆曲线参数的数量显著增加，但找到阶接近素数的曲线仍然具有挑战性。

在上下文无关树文法成员问题方面，我们证明了均匀成员问题是 PSPACE 完全的，并给出了非均匀成员问题属于 NP 的替代证明。这些成果为相关领域的研究提供了理论支持和算法基础。

未来的研究方向可以包括进一步优化椭圆曲线参数搜索算法，提高找到阶接近素数的曲线的概率。在上下文无关树文法方面，可以探索更高效的构造下推树自动机的方法，以及将其应用于更多实际场景中。

以下是椭圆曲线参数搜索算法的比较表格，展示了不同 (k) 值下的参数数量和相关信息：
| (k) | (r) | (L) | (#{n, p_m, t}) | 大小 (D) | (\rho) (平均) |
| — | — | — | — | — | — |
| 6 | 0 | 6 | 89 | 134 ∼ 160 | - |
| 8 | 1 | 4 | 149 | 143 ∼ 160 | - |
| 10 | 0 | 10 | 97 | 137 ∼ 160 | - |
| 12 | 1 | 6 | 29 | 135 ∼ 160 | - |
| 14 | 0 | 14 | 9 | 138 ∼ 160 | - |
| 16 | 1 | 8 | 111 | 148 ∼ 160 | - |
| 18 | 0 | 9 | 174 | 141 ∼ 160 | - |
| 20 | 1 | 10 | 9 | 136 ∼ 160 | - |
| 22 | 0 | 22 | 10 | 137 ∼ 160 | - |
| 24 | 1 | 12 | 90 | 142 ∼ 160 | - |
| 26 | 0 | 26 | 31 | 137 ∼ 160 | - |
| 28 | 1 | 14 | 57 | 136 ∼ 160 | - |
| 30 | 0 | 15 | 109 | 137 ∼ 160 | - |

这些表格和研究结果为我们进一步探索相关领域提供了有价值的参考。