6、多维配置与自动机理论中的代数方法

多维配置与自动机理论中的代数方法

1. 配置分解定理

存在这样一个分解定理：若 $c$ 是具有非平凡零化子的有限积分配置，那么存在周期积分配置 $c_1, \cdots, c_m$ ，使得 $c = c_1 + \cdots + c_m$ 。

2. 具体示例分析

• 配置定义 ：固定 $\alpha \in R$ 为无理数，定义二维配置 $c^{(1)}, c^{(2)}, c^{(3)}$ 和 $s$ 如下：
  • $c^{(1)}_{ij} = -⌊i\alpha⌋$
  • $c^{(2)}_{ij} = -⌊j\alpha⌋$
  • $c^{(3)}_{ij} = ⌊(i + j)\alpha⌋$
  • $s = c^{(1)} + c^{(2)} + c^{(3)}$
  • 这里，$s$ 是字母表 ${0, 1}$ 上的有限积分配置，而 $c^{(1)}, c^{(2)}, c^{(3)}$ 分别在 $(0, 1), (1, 0), (-1, 1)$ 方向上是周期的，但并非有限的。
• 证明 $s$ 不能表示为有限个有限周期配置的和 ：
  • 假设相反情况，即 $c^{(1)} + c^{(2)} + c^{(3)} = f_1 + \cdots + f_n$ ，其中 $f_i(X)$ 是周期有限配置。通过移项和合并同方向的项，得到 $(c^{(1)} + p_1) + (c^{(2)} + p_2