高效多机器人路径规划框架

最新推荐文章于 2025-11-14 09:25:18 发布

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#多机器人路径规划 #六边形晶格 #整数线性规划 #近似最优 #离散化

一种用于近似最优多机器人路径规划的有效算法框架

1 引言

我们研究在二维多重连接连续环境（即包含孔洞的环境）中为多个带标签的圆形机器人规划无碰撞路径的问题。该主要目标是开发一种实用且可扩展的框架，以高效求解多机器人路径规划（MPP）问题，其中机器人高度密集，同时力求全局最小化任务完成时间。该框架由两个关键的算法组件组成，并按顺序执行。以图1a所示示例为例，首先计算单个机器人的构型空间，并在其上叠加一个最优格子结构（图1b）。利用该晶格结构作为路线图，将每个起点（或目标）位置分配给路线图中的一个邻近节点，作为其唯一的离散起点（或目标）节点，从而将连续问题转化为离散问题（图1c）。然后，应用最先进的离散规划算法来近似最优地求解基于路线图的问题（图1d）。通过这两个算法组件的紧密组合，我们的框架在多种场景下均表现出极高的有效性，无论是在支持的机器人数量还是允许的机器人密度方面，都推动了最优多机器人路径规划达到新的水平。

贡献

我们的工作在有效且最优地解决多机器人路径规划（MPP）问题方面做出了两项贡献。首先，我们提出了一种两阶段框架，该框架允许将任意路线图构建（即离散化）方法与任何合适的离散Mpp算法相结合，以求解连续Mpp问题。该框架通过在路线图构建阶段施加部分碰撞避免约束，同时保持路径近最优性，从而实现这一目标。其次，我们为该两阶段框架提供了一种实用的集成化算法实现，用于计算大量机器人的近似最优路径。我们通过结合以下两种方法实现了这一点：(i) 一种在带有孔洞的有界二维环境中快速叠加密集规则格结构的算法，以及 (ii) 一种基于整数线性规划（ILP）的算法，用于求解离散Mpp[41]的近时间最优解。据我们所知，我们提出的这是首个能够在多重连通环境中快速规划数百个密集分布机器人近似最优连续路径的算法。

论文结构

本文其余部分组织如下：我们在第多机器人路径规划（MPP）问题在第2节中进行形式化描述。在第3节中，我们介绍整体算法框架架构以及框架中关于基于路线图的问题构建的第一个组件。在第4节中，我们描述框架的第二个组件如何实现。在第5节中，我们在多种环境中展示了我们框架的有效性。我们在第6节中进行了广泛的讨论并得出结论。

2 问题描述

设W表示一个有界的、开集的、多连通（即包含孔洞）的二维区域。我们假设W的边界和障碍物可以用多边形逼近，其总体复杂度为m（即共有m条边）。在W中有n个单位圆盘机器人。这些机器人被认为是全向的，其速度v满足 | v| ∈[0, 1]。令Cf表示单个机器人的自由构型空间（图1b中的阴影区域）。n个机器人的中心初始位于S ={s1,. . . , sn} ⊂Cf，目标位置为G ={g1,. . . , gn} ⊂Cf。对于所有 1 ≤ i ≤ n，初始位于 si的机器人必须被移动到 gi。

除了规划无碰撞路径外，我们还关注优化路径质量。本文的特定重点是最小化全局任务完成时间，也通常称为完工时间。3设P={p1,…,pn} 表示一个可行路径集，其中每个pi是一个连续函数，定义为

pi:[0, tf] → Cf, pi(0)= si, pi(tf)= gi.

完工时间目标旨在寻找最小化 tf 的解。换句话说，设 P 表示所有解路径集的集合，任务是找到一个其 tf 接近最优的路径集

tmin:= min
P∈P
tf(P). (1)

我们强调，本研究的目的是提出一种方法，能够快速求解具有大量机器人和高机器人密度（即机器人占地面积与自由空间之比很高）的“典型”问题实例，并保证最优性。这里的典型是指：(i)起始位置和目标位置之间有合理的距离；(ii)起始位置或目标位置不会过于靠近环境中的静态障碍物；以及(iii)环境中不存在导致离散化路线图结构连通性差的狭窄通道。更正式地说，我们假设条件(i)和(ii)分别具有如下形式4

∀1 ≤i,j ≤ n, |si − sj | ≥ 4, |gi − gj | ≥ 4 (2)

and

∀p ∈{S ∪ G}, |p − q| ≤√5 ⇒ q ∈ W. (3)

对于(iii)，离散化的路线图应能很好地捕捉连续环境的拓扑结构。具体来说，参见图2a。在此环境中，存在两个孔洞。经过对不包含任何障碍物的面进行面收缩后，格点图不再有任何孔洞。我们期望离散路线图是连通的，并且在面收缩后的孔洞数量等于连续环境中的孔洞数量（例如，图1d）。

备注。我们提出这些假设仅是为了说明我们的框架预期表现良好的情况。在我们的评估中，这些假设并未被强制执行。事实上，我们大幅放宽了（2）（从4放宽到2.5），且完全未强制执行（3）。当假设（iii）不满足时，我们还提供了一个用于恢复连通性的高效子程序。例如，将该子程序应用于图2a中的示例，可得到图2b的结果，该结果来自我们程序的屏幕截图。我们还强调，鉴于最优多机器人路径规划（MPP）在计算上是一项极具挑战性的任务，且我们的重点在于方法有效性，因此我们并未从解的完备性角度来考虑该问题。[10]

示意图0

示意图1

3 算法框架架构与基于路线图的离散问题构建

我们使用一个包含两个算法组件的算法框架来求解所提出的问题——首先将连续问题离散化，然后求解基于路线图的问题。整个框架包含四个顺序步骤：(i)在构型空间上选择并叠加一个规则格子结构，(ii)恢复离散化过程中丢失的环境连通性，(iii)将起始和目标位置映射到路线图节点上，以在路线图上构建离散问题，并(iv)对离散Mpp问题进行最优或近似最优求解。

我们注意到，与PRM [12]和RRT [16],等运动规划方法相比，我们的框架在表面上看似相似，但实际上有很大不同。在PRM和RRT这类方法中，离散化处理的是包含目标系统所有自由度的构型空间。而我们的方法则对具有两个自由度的单个机器人的构型空间进行细致且主要是均匀的离散化。通过这样做，我们以牺牲概率完备性为代价，换取了更快计算近最优解的能力。

在本节其余部分，我们将描述我们算法框架的第一个关键组成部分——基于路线图的离散问题的构建，该部分涵盖了整个框架的前三个算法步骤。

3.1 晶格选择与施加

合适的晶格结构选择

在选择合适的晶格结构时，我们的目标是允许在生成的路线图上同时容纳更多的机器人，并快速获得该结构。显然，如果路线图中的节点数量不足，则生成的离散问题可能会过于密集地分布机器人，这将难以求解，甚至可能无解。另一方面，为了在框架的路线图构建阶段和离散规划阶段之间实现清晰的分离，节点之间不能过于接近，例如，两个不同的节点上的两个机器人不应发生碰撞。此外，期望两个机器人在不同边上并行移动时也不会相互碰撞。

综合考虑所有这些因素，我们选择采用平面均匀镶嵌 [22]。平面的均匀镶嵌是一种规则的网络结构，可以无限重复以覆盖整个二维平面。由于平面均匀镶嵌的规则性，在Cf上叠加镶嵌模式在计算上较为简便。选择此类镶嵌方式后，我们便无需为路线图单独选择每个节点。在11种平面均匀镶嵌5中 [22],，我们计算了每种镶嵌所能支持的机器人密度。为了允许机器人在相邻边上同时移动，以方形铺砌为例，正方形的边长必须为4/√2，以避免此类移动可能引发的碰撞（例如，见图3a）。实际上，很容易证明当两个机器人位于连接同一节点的两条边的中点时，它们之间的距离最短。对于六边形铺砌，这导致最小边长为4/√3（图3b）。

在获得所有11种密铺所需的边长参数后，便可计算这些密铺所允许的最大机器人密度。我们通过假设规则密铺图案的所有节点均被机器人占据，并计算机器人占据的面积与自由空间未被占据时的比率来确定密度。对于无限且无障碍物的晶格，六边形密铺是最优的

5这些镶嵌包括：三角形、三六边形、正方形、拉长的三角形、六边形、截断正方形、截断三六边形、截断六边形、扭棱正方形、菱形三六边形、扭棱六边形。

示意图2

图4 高效计算位于 Cf 内部的六边形格子

密度约为45%，其次是方形铺砌，密度约为39%。三角形铺砌的密度仅为 23%。这促使我们选择六边形晶格作为离散路线图的基础结构。

施加晶格结构

在确定晶格结构后，我们需要一个过程将该结构施加到Cf上。本质上，必须检查每条边是否完全包含在自由构型空间Cf中。注意，如果采用朴素方法执行此操作，即对每条边与所有障碍物进行碰撞检测，则总体复杂度将达到O(mA)量级，其中m是工作空间的复杂度，A是外边界所包含的面积。当m或A增大时，该朴素方法很快变得耗时。

为了高效地完成此步骤，我们首先在无限六边形格子的足够大区域与连续环境之间进行任意对齐（图4）。然后，我们一次查看一个构型空间障碍物（包括外边界）。对于每个障碍物，我们在边界上选择一个任意顶点（图 4中的红点），并定位该点所属的格子中的六边形（如图4所示示例中，是标有“1”的阴影六边形）。接着，我们沿着障碍物边界追踪，并找出所有与边界相交的格子（绿色）边。以这种方式找到的边不属于 Cf和最终离散图结构；此外，它们将格子划分为若干部分，这些部分要么完全位于 Cf内部，要么完全位于 C f外部。这使我们能够高效地检查其余格子边是否属于 Cf。

为此，我们从一个位于 C f内且属于这些绿色边之一的顶点开始，在

图5 完全包围两个 Cf障碍物的最小环

格子结构上执行广度优先搜索，此时所有绿色边已被删除。通过这种方式找到的所有边必须属于 C f。我们重复此过程，直到耗尽所有落在 Cf内部的格子顶点。注意，该广度优先搜索是一种无需对实数执行几何计算的离散搜索，因此比边相交检查快得多。最终，我们得到一种输出敏感算法，其运行时间通常介于 Θ(√A)和 Θ(A)之间，具体取决于障碍物边界的总长度。实际上，使用所述方法，此步骤所用的计算时间与离散规划所需时间相比微不足道。

恢复构型空间连通性

我们现在讨论如何确保Cf的拓扑结构在离散路线图中得以保留。本质上，我们必须定位连续环境中连通性丢失的位置。我们通过一个示例来说明该问题的算法解决方案。对于图3a所示的问题，针对每个构型空间障碍物，可以直接在晶格上找到包围该障碍物的最小环（例如，图5中的绿色和红色环）。然后，对于每一对障碍物，检查其对应的包围环是否具有非平凡内部，如果存在，则在重叠部分上找到最小线段（例如，图5中两个橙色节点之间的红色线段）。利用可见性图[18],，我们可以恢复丢失的连通性，得到如图3b所示的路线图。此步骤中的大部分计算时间用于计算可见性图本身，其耗时为O(m logm+ E)[6],，其中m表示环境复杂度，E表示所得可见性图中的边数。

备注。在恢复连通性的过程中，有可能最终得到的路线图无法保证圆盘机器人的同时移动是无碰撞的。在不深入细节的情况下，我们指出，这个问题可以通过牺牲一些时间最优性来完全解决。

我们还注意到，保持连续环境的连通性或拓扑结构可能至关重要。一个连通性更好的环境具有更多样化的候选路径，从而使相应问题更容易求解。也许更重要的是，Cf的连通性保持对于保持路径最优性至关重要。对于基于叠加的方形晶格构建的路线图，给定两点之间的最短路径 p ⊂ Cf，由于欧几里得度量与曼哈顿度量之间的 强等价性 ，最短路径 p与对应的

对应的最短路径p′在基于方格晶格的路线图上，对于任何合理长度的路径p（即 length(p) 1不成立），它们彼此之间的长度比值保持在一个常数因子范围内。同样的论证也适用于基于路线图的六边形晶格。在无障碍物的情况下，长路径 p上的比值length(p′)/length(p)在方形晶格中被√2所约束，在六边形晶格中大致相同。当存在障碍物时，该比值基本保持不变。另一方面，如果Cf的连通性未被保留，则可能导致length(p′)/length(p)任意增大。图6给出了一个示例。

一旦我们确定路线图保持了路径长度的近似最优性，那么时间最优性也同样得到保持。尽管单个路径的近似最优性得以保留，但这并不直接意味着抽象离散问题的最优解在时间或距离方面也保持了相对于原始连续问题的最优性。然而，我们的计算实验表明，当Cf具有良好的连通性时，通常情况下确实如此。

示意图3

3.2 将起始和目标位置捕捉到路线图节点

完整的路线图构建完成后，S ∪ G中的每个起点或目标位置必须与附近的一个路线图节点相关联。我们将此过程称为捕捉。在捕捉步骤中，对于每个 si ∈S，我们简单地将 si与 si能够到达且不与其他 sj ∈ S发生碰撞的最近路线图节点相关联。对所有gi ∈ G也执行相同的过程。在分离假设(2)和(3)下，这几乎总是可行的。特别是，(2)意味着晶格中的每个六边形大致最多包含一个起点和一个目标位置。因此，路线图上的节点数量至少是机器人数量的两倍。在极少数发生冲突的情况下，我们可以应用重排算法（例如，[29]）来执行捕捉步骤，而不会对时间最优性造成太大影响。该步骤的完备性由(2)和(3)保证。

捕捉过程完成后，便得到了原始连续问题的离散抽象。以我们的示例为例，这导致了图1c 所示的场景。如果我们对最优性不感兴趣，则可以使用非最优但为多项式时间算法的方法来求解该离散问题 [14, 44]。如各个部分所述，本部分所需的计算可以通过低次多项式时间算法完成。与求解基于路线图的离散问题所需的时间相比，此部分所用的时间微不足道。

4 快速、近最优离散路径规划

在获得具有时间和距离近最优保证的高质量路线图后（例如，通过保持最优性的从连续空间到离散空间的转换），可以自由选择一种算法来求解该离散抽象问题（如本例中的图1c所示）。尽管可以构造任意数量的全局最优目标，但以下四个目标可能是最自然的。这四个目标分别是最小化最大或总到达时间或行驶距离。从服务提供商（如配送无人机）和最终用户（如客户）的角度来看，最小化总距离或时间可使服务提供商最小化能耗或整体车辆使用量；而最小化最大时间或距离则能确保客户之间的服务质量更加均衡。如果目标是最小化总到达时间或总行驶距离，则可采用诸如ID[30]等离散搜索方法。

本文我们关注最小化完工时间（即最大到达时间或任务完成时间）。我们描述了一种有效的方法来最小化工序时间[41, 42],，该方法同样可很好地用于最小化最大行驶距离。该方法是一种基于整数线性规划的方法，并结合了最优基线算法以及近最优启发式方法以提升计算性能。

基线，基于ILP模型的算法

我们首先描述如何获得一个ILP模型 [42]。关键思想是对离散（空间）路线图进行时间扩展，然后在所得到的有向时空图上构建ILP模型。此步骤本质上是将若干个 T空间路线图副本依次连接起来。局部而言，对于六边形路线图，时空图具有图 7 所示的结构。现在，如果离散多机器人路径规划（MPP）问题允许在 T时间步内存在解，则在时空图上存在对应形式为 n条顶点不相交路径的解。随后可以方便地建立ILP模型来寻找这些顶点不相交

示意图4

路径。在时空图上找到的每个解都可以很容易地映射回原问题，从而得到多机器人路径规划问题的一个可行解。为了确保最优性，采用了一个保守的初始估计值T，即用于时间扩展的步数。然后逐步增加该T值，直到找到第一个可行解，该解同时也是最小完工时间解。

k路分割启发式方法

由于求解离散Mpp的最小完工时间问题是NP难的[43],，我们观察到求解相应ILP模型的时间随着模型规模的增大呈指数级增长。这促使我们提出一种启发式方法，将一个大的ILP模型沿时间轴分解为多个小模型。如果问题被分为k个部分，我们称其为k路分割。以2路分割为例，首先计算各个机器人的单独路径，然后利用这些路径的中点将离散Mpp问题划分为两个子问题，这些中点作为第一个子问题的目标，同时也是第二个子问题的起始位置。如果存在重叠的中点，则使用随机化方法寻找替代位置。最后，分别求解每个子问题，然后将解拼接起来。需要注意的是，由于划分是基于时间的，因此两个子问题之间没有交互。在k路分割中，原始ILP模型被有效地划分为k个等规模的部分。求解这k个部分通常比求解单个大规模 ILP模型耗时少得多。然而，该启发式方法并不能保持完工时间的真正最优性，而是产生近最优解。

可达性分析

另一种有用的、保持最优性的启发式方法是可达性分析。其基本思想是根据每个机器人的起始和目标位置，截断时空图中不可达的边。

5 计算的评估

我们使用CGAL [4]以C++实现了路线图构建阶段。用Java编写的离散路径规划模块使用 Gurobi [9]作为整数线性规划求解器。实验在一台配备英特尔酷芮i7‐4850HQ的笔记本电脑上进行。

在评估中，我们在五个不同的环境中测试了我们的算法框架。第一个环境是一个边长为35的简单正方形（注意机器人是单位圆盘），内部没有障碍物。其余环境具有相同的边界正方形，但包含不同的障碍物布局。我们为所有测试随机选择起始和目标位置。这些环境以及一个典型的50个机器人的问题实例如图8所示。

示意图5

5.1 有界无障碍环境中的性能

我们首先表征了我们的框架在计算速度和解的最优性方面的表现，其中使用了不同 k 值的 k‐路分割启发式方法。为此任务，我们进行了两组计算。第一组计算涵盖在本小节中部分，重点关注有界无障碍环境。在此环境中，我们将机器人数量设置在 10–100之间，并评估框架在基线算法（即单一子问题）、2路分割（即两个子问题）、4路分割和8路分割下与基线算法的性能。对于每种机器人数量和启发式方法的组合，随机顺序生成10个测试用例并进行求解。平均运行时间和最优性比率绘制在图9中。需要注意的是，我们对最优性比率的计算是保守的。为了计算该比率，我们找出每一对起始和目标位置之间的最短距离，并将这些距离的最大值作为最优时间的估计值（因为机器人的最大速度为1）。然后通过将实际任务完成时间除以该估计值得到最优性比率。

从实验中我们观察到，基线算法在没有障碍物的情况下，对于最多40个机器人实际上表现相当出色。尽管如此，2路分割和4路分割在几乎不损失最优性的情况下表现更好——在我们的实验中，这三种方法的最优性比率均介于1.2至 1.6之间。采用8路分割时，虽然牺牲了一些最优性，但我们平均能在10秒内持续解决100个机器人的规划问题。这种设置对应于机器人占据超过25%自由空间的情况，这是以往在最优多机器人路径规划中从未尝试过的场景。

示意图6

5.2 有界环境中存在障碍物时的性能

第二组实验将重点转移到存在障碍物的环境中。为此，我们使用了“Jack” 环境。选择该环境是因为它实际上是一个相对困难的场景，许多最短路径必须经过中间区域，从而导致冲突。图10展示了5–50个机器人的实验结果，这与我们的第一组实验结果一致。我们注意到，障碍物虽然影响了计算时间，但对结果的最优性影响不大。

示意图7

5.3 框架整体性能评估

我们的最后一组实验旨在展示我们框架的整体有效性。为此，我们自动选择分割启发式方法。大致来说，我们通过增加k（在k路分割中）以保持每次时间扩展为10个时间步，我们发现这在速度和最优性之间取得了良好的平衡。

对于图8中所示的环境集合，实验结果绘制在图11中。我们的方法能够持续解决所有实例，平均求解时间从0.5到10秒，同时对最小化完工时间提供了良好的最优性保证。图11a中40个机器人处的两个峰值是由于在这两个环境中，当机器人数量达到45个机器人时切换到了8路分割。

6 结论

本文提出了一种用于解决连续的多重连接环境中多机器人路径规划问题的算法框架。我们的框架将规划任务划分为两个阶段。在第一阶段，构型空间被精心选择的规则晶格模式进行划分，并考虑了机器人间碰撞避免。所施加的晶格随后被处理以生成一条路线图，该路线图保持了连续构型空间的连通性，这对于实现最终解的近似最优性至关重要。将机器人及其目标位置捕捉到路线图上，从而将初始的连续规划问题转化为离散规划问题。在第二阶段，可以使用任何基于图的多机器人路径规划算法来求解该离散规划问题，之后所得的解可直接应用于连续域中。借助一个良好的离散Mpp最优规划器，我们的整体算法能够持续地在几秒到几分钟内求解包含数十至数百个机器人的大规模问题实例。

在迈向具有障碍物的连续域中近似最优多机器人路径规划的通用框架这一重要第一步的同时，我们也引发了许多自然而然的后续步骤。我们在此讨论其中一些，并计划在未来的研究中进行全面探索。

非完整约束

本文未涉及的一个重要问题是非完整机器人的路径规划。我们在此简要讨论这一问题。我们的算法框架很自然地支持小时间局部可控（STLC）且具有合理最小转弯半径的非完整机器人。本质上，将我们的方法应用于非完整机器人时，机器人只需具备以下能力：(i)从起始位置移动到附近具有指定方向的路线图节点，(ii)沿路线图上的任意路径移动而不发生碰撞，以及(iii)从路线图节点移动到附近的任意目标位置（方向任意）。类车机器人或任何STLC机器人均具备第一和第三种能力。因此，只要机器人的最小转弯半径为2，它就可以沿路线图上的任意路径行驶

在不违反其非完整约束的情况下在六边形晶格上移动（见图12）。更重要的是，多个机器人可以以这种方式同时移动而不会导致碰撞。引入非完整约束对最优性没有显著影响。

去中心化规划器

我们框架的当前实现产生了一种集中式算法。然而，有可能使该算法在全局尺度上去中心化。例如，我们可以简单地让每个机器人使用基于互惠速度障碍（RVO）等方法独立进行规划，并在机器人密度超过某个临界阈值时局部启用我们的集中式方法。需要注意的是，随着机器人密度的增加，基于RVO或排斥力的方法通常无法保证最优性，并且还可能产生死锁。

一般环境中六边形格子的最优性

尽管我们已经证明在没有障碍物的情况下，六边形晶格结构能够产生最优的铺砌效果，但在有界环境中存在障碍物时，这一结论是否依然成立尚不明确。在未来的工作中，我们计划通过在不同障碍物设置下的仿真来研究这一问题。我们还将使用非六边形的晶格结构对其性能进行表征。其原因在于，尽管六边形晶格允许最高的密度，但每个节点仅有3‐连通性。例如，方形晶格具有4‐连通结构，这有利于离散规划阶段的进行。通常情况下，具有更高连通性的离散Mpp问题更容易被最优求解。