13、集合与哈希表：原理、操作与应用

集合与哈希表：原理、操作与应用

1. 集合相关知识

1.1 集合操作的替代实现

在集合操作中，我们可以通过其他集合操作来实现一些特定的判断，以下是具体介绍：
- 判断子集 ：若要判断集合 $S_1$ 是否为集合 $S_2$ 的子集，在集合表示法中，如果 $S_1 \cap S_2 = S_1$，则 $S_1 \subseteq S_2$。因此，我们可以结合使用 set_intersection 和 set_is_equal 操作。不过，调用这两个操作的运行时间实际上接近 $T (m, n) = 2mn$，而 set_is_subset 操作的运行时间更接近 $T (m, n) = mn$，其中 $m$ 是 $S_1$ 的大小，$n$ 是 $S_2$ 的大小。尽管两种方法的复杂度相同，但在实践中，调用 set_intersection 和 set_is_equal 大约需要两倍的时间。
- 判断相等 ：若要判断集合 $S_1$ 是否等于集合 $S_2$，在集合表示法中，如果 $S_1 - S_2 = \varnothing$ 且 $S_2 - S_1 = \varnothing$，则 $S_1 = S_2$。因此，我们可以通过两次调用 set_difference 和两次调用 set_size 来实现，不过效率较低。
- 计算交集 ：若要计算两个集合