从对偶定理看择一定理（Farkas为例）

原创 已于 2023-09-19 21:57:40 修改 · 968 阅读 · 3 ·
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于 2023-09-19 21:41:05 首次发布
本文讨论了如何通过Farkas引理将线性规划的无约束问题转化为等式和不等式条件下的对偶问题，强调了当原问题与对偶问题其中一个有解时另一个必定无解的特性。目标函数被调整以确保问题的互补性。

上图是对偶问题，下图为Farkas引理

Farkas引理改变表达方式

I:\begin{Bmatrix} z=cx>0\\ Ax\leqslant 0\\ \forall x \end{Bmatrix} II:\begin{Bmatrix} w=y\cdot 0=0\\ yA=c\\ y\geqslant 0 \end{Bmatrix}

x的无约束转为y的等式条件以及x的小于等于条件转为y的大于等于条件与对偶定理完全一致。

对于对偶定理，若原问题有最优解，那么对偶问题也有最优解，且目标函数值相等。

这里改动了目标函数，取消了最大化与最小化问题，专门设置了条件使得两个线性系统互斥（一个有解，另一个必无解；一个无解，另一个必有解）

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