【高等数学】1函数极限连续-优快云博客

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1. 函数

复合函数 $y=f\left [ g(x) \right ]$ 的性质及其图形

反函数 $x^{-1}=y$ 的性质及其图形

分段函数的性质及其图形

隐函数 $F(x,y)=0$ 的性质及其图形

基本初等函数（通常包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数）的性质及其图形

初等函数（由基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算所得到的函数）。

2. 极限

2.1. 函数极限

2.1.1. 一元函数

四则运算法则

$\lim_{x\to\infty}f(x)=A,\lim_{x\to\infty}g(x)=B$ ，则有 $\lim_{x\to\infty}[f(x)+g(x)]=\lim_{x\to\infty}f(x)+\lim_{x\to\infty}g(x)=A+B$

◯ $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos x\cdot \cos 2x}{x^{2}}=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos x+\cos x-\cos x\cdot \cos 2x}{x^{2}}$

$=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos x}{x^{2}}+\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\cos x-\cos x\cdot \cos 2x}{x^{2}}=\frac{1}{2}+2=\frac{5}{2}$

夹逼准则

◯ $\begin{aligned}\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n^2+1}+\frac{n}{n^2+2}+\cdots+\frac{n}{n^2+n}\end{aligned}$

因为 $\frac{n^2}{n^2+n}\leq\frac n{n^2+1}+\frac n{n^2+2}+\cdots+\frac n{n^2+n}\leq\frac{n^2}{n^2+1}$

而 $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n^2}{n^2+n}=1$ $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n^2}{n^2+1}=1$

根据夹逼准则，原极限为 $1$ 。

两个重要极限

$\lim\limits_{\Delta \rightarrow 0}\frac{\sin \Delta }{\Delta }=1$

◯ $\operatorname*{lim}_{x\to0}{\frac{\sin3x}{2x}}=\operatorname*{lim}_{x\to0}\frac{3}{2}\cdot {\frac{\sin3x}{3x}}=\frac{3}{2}$

$\lim\limits_{\Delta \rightarrow0 }\left ( 1+\Delta \right )^{\frac{1}{\Delta }}=e$

◯ $\operatorname*{lim}_{x\to\infty}(1+{\frac{2}{x}})^{x}=\operatorname*{lim}_{x\to\infty}\left [ (1+{\frac{2}{x}})^{\frac{x}{2}} \right ]^{2}=e^{2}$

等价无穷小代换

当 $x\rightarrow 0$ 时，

$\sin x\sim\tan x\sim\arcsin x\sim\arctan x\sim x$

$\ln(1+x)\sim e^x-1\sim x$

$1-\cos x\sim\frac12x^2$
$(1+x)^a-1\sim ax$ ( $a$ 为常数 )

$a^x- 1\sim x\ln a$ ( $a>0$ 且 $a\neq1$ )