微积分学期复习笔记

Partial Fractions 部分分式

有理函数拆分的结果是若干项简单分式的和，这些简单分式被称为部分分式。在积分有理函数，解有理方程，或者处理拉普拉斯变换时特别有用。

有理函数的定义和拆分要求

有理函数必须为真有理式(与真分数的判断条件相同） - 次数下大上小，若为假分式先做多项式长除

有理函数分解步骤

写成代数的部分分数：

没懂？举几个例子

Eg1：

Eg2：两种拆法都可以，但第一种方便我们积分

Eg3：

求待定系数

1.构造方程组法

（最后考虑构造方程组法，因为还需要连立求解非常麻烦）

2.留数法(推荐)

Polynomial Long Division 多项式长除法

一个例子你应该就懂了，注意负号即可

Thus, the quotient is..., and the remainder is...

Algebraic Fractions 代数分数

Parent Function 基本函数

First & Second Derivative 一阶二阶导

令一阶导的结果等于0可以得到critical point驻点

令二阶导的结果等于0可以得到inflection point拐点

Continunity and Differentiability 连续和可微

对于一阶导，连续不一定可导，可导必连续（连续不断即可，可导要求连续且光滑）

Local & Global Extrema 极值 和 最值

Asymptotes 渐近线

Composite and Inverse Functions 复合函数和反函数

可以使用水平线检验从图像判断一个函数是否有反函数：函数 f(x) 具有反函数，当且仅当
 如果每条水平线与 f(x) 的图形最多相交一次

用交换顺序的反函数和原函数的组成的复合函数验证两个函数之间是否为反函数关系

怎么求反函数用一个例子体会一下（附带验证步骤）

不需要求反函数得到反函数值

三角函数的反函数

画三角形解

Rational Root Theorem 有理式根定理

取次数最高的项和常数项的系数作为被除数，找到除数使结果仍为整数。这些除数就是可能的解。比如最高次项的系数为6，那1、2、3、6作为除数结果都是整数

通过有理式定理猜测三次方程的一个根，代入方程验证后用这个根，将方程拆解为二次方程

导数与图像

定义域 - 与轴的交点 - 对称性 - 渐近线 - 增减性 - 极大极小值点 critical point - 凹凸性（凹是upward）inflection point拐点

记巧：定交对渐+12阶导对应的几何意义

Critical Number，局部最值

Newton-Raphson method

数学模型（应该不考） 

 

泰勒公式

N阶导比N阶乘再乘上差值的N次方

Special functions and Inverse Functions

EXPONENTIAL FUNCTIONS

LOGARITHMIC FUNCTIONS

TRANSCENDENTAL FUNCTIONS

Hyperbolic functions双曲函数

用sinx和cosx参数化了单位圆and has cartesian equation x2 +y2 = 1，现在我们定义新函数sinh和coshparameterize the part of the hyperbola 双曲线with x > 0 defined by the cartesian equation x2 − y2 = 1

 

Improper Integral

判断是否收敛

定积分的几何意义

平面图形面积

平行截面 - 旋转体体积

Arc Length 弧长

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Reference

部分分式

微积分-函数与极限5（极限的精确定义）_精确定义证明极限-优快云博客

双曲函数(Hyperbolic functions) - 知乎