夜尘的博客

原创 (待更新)个人博客目录

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原创 高数好题错题公式集合

1 2tan⁡x−cot⁡x=−2cot⁡2x\tan x-\cot x=-2\cot 2xtanx−cotx=−2cot2x3∫1x2−a2dx=∫12a(1x−a−1x+a)dx=12aln⁡∣x−ax+a∣+C\int \frac{1}{x^2-a^2}dx=\int\frac{1}{2a}(\frac{1}{x-a}-\frac{1}{x+a})dx=\frac{1}{2a}\ln...

原创 不错的题目

原创 关于不定积分和积分上限函数区别的简单讨论

关于不定积分和积分上限函数区别的简单讨论对Df=[a,b]D_f=[a,b]Df​=[a,b]的函数f(x)f(x)f(x)而言，假定其在区间内可积并且存在不定积分。设其存在一个原函数：F(x)F(x)F(x)那么F′(x)=f(x)F'(x)=f(x)F′(x)=f(x)由莱布尼茨公式可得：∫axf(t)dt=F(x)−F(a)\int_a^xf(t)dt=F(x)-F(a)∫ax​f...

原创 微积分笔记(没写完)

1. 极限的几种定义描述性定义：如果f(x)f(x)f(x)在某个变化过程中无限逼近某个常数，该常数就是f(x)f(x)f(x)在该变化过程中的极限精确性定义：ϵ−N,ϵ−\epsilon-N,\epsilon-ϵ−N,ϵ−无穷小定义海涅定理定义（数列极限）...

原创 微积分Z2J9 连续函数在闭区间上的性质

文章目录最值定理内容推广：有界定理零点定理介值定理最值定理内容若f(x)f(x)f(x)在[a,b][a,b][a,b]上连续，则对f(x)f(x)f(x)在该区间内的最大值M和最小值N而言，必然有ϵ,ξ∈[a,b]\epsilon,\xi\in[a,b]ϵ,ξ∈[a,b]使得：N=f(ϵ)≤f(x)≤f(ξ)=MN=f(\epsilon)≤f(x)≤f(\xi)=MN=f(ϵ)≤f(x...

原创 微积分Z2J8 连续函数的运算性质与间断点

文章目录连续函数的运算性质连续函数的四则运算连续函数的复合运算初等函数在定义域内连续间断点第一类间断点第二类间断点连续函数的运算性质连续函数的四则运算连续函数四则运算仍然连续。即f(x)、g(x)f(x)、g(x)f(x)、g(x)连续，则f(x)±g(x)、f(x)g(x)、f(x)g(x)(g(x)≠0)f(x)±g(x)、f(x)g(x)、\frac{f(x)}{g(x)}(g(x)...

原创 微积分Z2J7 函数连续性的概念

文章目录连续的概念连续的概念设f(x)f(x)f(x)在x0x_0x0​的某一领域内有定义，若lim⁡x→x0f(x)=f(x0)\lim_{x\rightarrow x_0} f(x)=f(x_0)limx→x0​​f(x)=f(x0​)则称函数在该点连续，该点称为函数的连续点。当区间内所有点都是函数连续点，则函数在该区间连续，该区间称为连续区间。同时根据极限精确性定义，有：∀ϵ&g...

原创 微积分Z2J6 无穷小

文章目录无穷小的定义无穷小的定义无穷大的定义无穷小与无穷大的关系无穷小的性质无穷小与一般函数极限的关系无穷小的运算性质无穷小的比较无穷小的阶等价无穷小等价无穷小的充分必要条件无穷小代换等价无穷小代换高阶无穷小代换无穷小的定义无穷小的定义在某个变化过程中，f(x)f(x)f(x)趋于0，则f(x)f(x)f(x)是该变化过程中的无穷小量，简称无穷小。注意：除了0以外的常数都不是无穷小，无...

原创 微积分Z2 J4 极限性质以及运算法则

简介这一章节介绍极限的性质、运算法则以及一些定理。目录简介唯一性有界性保号性保号性推论海涅定理极限的四则运算收敛准则单调有界定理柯西收敛准则夹逼定理唯一性在某个变化过程中极限若存在，则该极限必然只有一个。证明过程这对函数和数列均适用。有界性若函数收敛，则函数在变化过程中在趋向的领域内或者在某个无穷区间内有界。例如：对数列而言，变化过程趋于正无穷，可以直接忽略变化过程的领域，认为...

原创 微积分Z2 J3 函数极限的概念

简介这一节就开始介绍极限的概念了，但标题为什么又是函数极限的概念呢？这是因为在函数中，极限运用的更广，作用更大，主要被求极限的主体一般都是函数。因此有时候说极限，其实是在说函数极限。但严格讲极限确实是函数的极限，因为极限分为数列极限和函数极限，数列是函数的一种特例，所以也能归入函数极限之中。目录：极限的定义极限的情况极限的定义描述性定义极限由极限思想衍生而来。f(x)f(x...

原创 微积分Z2 J2 典型函数

简介初步了解了函数的概念和性质，接下来就是了解一些特殊情况的函数（经典的函数）。这些经典的函数几乎都是一大类函数。这也体现了函数种类的丰富多样。内容：初等函数反函数复合函数分段函数初等函数要知道什么初等函数，就要知道什么是基本初等函数。基本初等函数x基本初等函数包括：常数函数，幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数常数函数f(x)=C,C为常数f(x)= C,...

原创 微积分Z2 J1 函数的概念及性质

简介这一节内容主要对函数进行一定的了解，并且给出一些具体的拓展。什么是函数，函数的性质有哪些，又有哪些常见的函数类型？带着这些问题，我们看看下面的内容。目录：函数是什么？典型函数又有哪些...

原创 微积分 作业报告 2019.11.26

2019.11.26 题目订正总结简要信息日期：2019.11.26题目概要：《微积分 高等教育出版社 上》习题4.6：T2,3T_{2,3}T2,3​；习题5.3 T2 (11)T_2\ (11)T2​ (11)内容解题总结部分1：泰勒公式与麦克劳林公式错误：导数求错未写出余项表达式总结：泰勒公式：f(x)=f(x0)+f′(x0)1(x−x0)...

原创 常用三角函数恒等式

原创 微积分Z2 函数的极限与连续

简介这一章节就开始步入微积分最基础的内容——极限。极限不仅仅是一种思想，更是微积分内不可或缺的最重要的概念。甚至可以说，在微积分内没有什么概念比极限更重要了。目录函数函数的极限函数的连续性...

原创 微积分Z1 J3 映射

简介也许函数对你而言耳熟能详，但你真的知道什么是函数吗？要解答这个问题，就要看看我们今天的”映射“了。内容：什么是映射？映射的分类？映射与函数的联系是什么？什么是映射？映射是一种基于集合的特殊对应关系。设存在非空集合A,BA,BA,B,有某种对应关系fff使得∀x∈A\forall x\in A∀x∈A均有唯一对应的y∈By\in By∈B，则这种对应关系称为映射。记作f:A...

原创 微积分Z1J2 集合

简介集合是一种特殊的理论，更准确地说是一种看待事物的方式，你不仅仅可以通过集合论来研究数学，甚至于逻辑学，经济学都可以使用到集合或者其思想。集合部分主要介绍下面的内容：集合是什么？如何表示集合？集合的分类集合的运算法则集合是什么？由一组确定的对象汇聚而成的总体，或者是具有特定性质的对象的总体，叫做集合。其中这些对象为元素。元素遵循三原则：确定性：元素一定是确定而非模糊的...

原创 微积分Z1J1 预备知识

简介这章主要介绍一些基本的知识，以便于后期微积分学习。内容主要包括：实数的简要介绍以及区间，邻域概念代数式的简单介绍和常见式子数列的简单介绍以及常见数列公式方法的介绍实数的简要介绍以及区间，邻域概念数的概念是随着人类意识的不断加深而产生发展的。其中最早出现的是自然数，它是从0开始并包括0（0，1，2，3.，…）的一系列数字。全体自然数的集合叫做自然数集，记作N,自然数分为奇数和...

原创 微积分Z1 基础知识

简介基础知识篇主要介绍数学的源头与分支流派，并对微积分所要求的一些基本知识做了小的概括。笔记将数学源头与分支流派的介绍省略，将其中基础知识总结。目录预备知识集合映射...

原创 微积分Z0 导读

文章目录简介目录简介参考教材：《微积分》 高等教育出版社《微积分》北京理工大学出版社此为日志式的笔记，记录每章所学知识点，着重讲解重难点以及小灵感。目录第一章 基础知识第二章 极限与连续...

原创 积分法

不定积分的积分方法关于不定积分的积分方法，有复合函数换元积分法和两个函数乘积的分部积分法。复合函数的换元积分法换元积分法针对复合函数。换元通常有两种情况，一种是函数之间的换元，另一种则是三角换元法（实际上也是第一种方法）。换元的思想是拼凑补删原微分，使之形成一个新的微分，此时被微分的函数是复合函数的自变量，因此可以直接求出结果。用公式表示：∫f[ϕ(x)] dx=∫f[ϕ(...

原创 关于极坐标体系思想在三维空间的延伸

灵感的来源下面提到的数字，单位均为毫米来自建筑制图练习册24页第12题,做题过程中无意间想到以极坐标的思想来完成该题目.此为原题.原题标准答案采用直角三角形法的变式，但是我这里还想提出另外一种方法——极坐标公式法下面给出该思想的推导方法。延伸,极坐标与空间直角坐标系的相互转换推导极坐标以点到极点的长度和与极轴的夹角来确定一个点位置。在空间体系中，仍然应该存在点到极点的长度。但是角...

原创 关于函数凹凸性两种定义与二阶导数符号之间的联系证明

什么是函数的凹凸性函数的凹凸性即对一个在某区间A上单调的函数，它的图像上凸或者上凹，则分别称为凸函数或者凹函数。而对于在某个区间内既有凹图像又有凸图像，则将凹图像所在区间称为函数的凹区间，凸图像所在区间则称为凸区间。例如，y=ln⁡xy=\ln xy=lnx与y=x3y=x^3y=x3在(0,+∞)(0,+\infty)(0,+∞)内都单调递增，但是前者为凸函数，后者为凹函数。凹凸性数学定义...

原创 投影直角三角形法求空间线段实长

原理概述rt,V投影反映图形的左右距离,上下距离,而H投影反映图形的前后距离和左右距离那么在空间以AB为斜边构造垂直于H面的直角三角形,其中平行于H面的直角边长为ab,而垂直于H面的直角边长为a’b’的上下距离.如图.将此三角形翻转为与H面平行,平移至与H面重合,再让原本平行于H面的直角边于ab重合,即可得到一个新的直角三角形.这样就得到一个在H面内的直角三角形,且该三角形的斜边...

原创 微积分Z2J5 两个重要极限

1.lim⁡x→0sin⁡xx=1\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin x}{x}=1limx→0​xsinx​=1证明证明过程涉及单位圆.建议有微积分教材的翻到相应部分(所有微积分教材都有这个极限的证明),这里为了方便就不再给出证明.提示:单位圆+三角形面积得出不等式+夹逼定理变式lim⁡x→0sin⁡αxβx=αβ，β≠0\lim_{x\rightarrow...

原创 海涅定理

海涅定理的定义理解起来较为复杂.虽然其形式本身就有些晦涩,但用于证伪却十分简单.下面给出定义.lim⁡x→x0f(x)=A\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=Alimx→x0​​f(x)=A的充分必要条件是:对任何趋于x0{x_0}x0​的数列{xn}\{x_n\}{xn​},其相应的函数值数列{f(xn)}\{f(x_n)\}{f(xn​)}满足lim⁡n→∞f(xn)...

原创 极限的精确性定义

数列极限的精确性定义∀ϵ>0,∃N∈N+,\forall\epsilon>0,\exist N\in N_+,∀ϵ>0,∃N∈N+​,使得当n>Nn>Nn>N时,有:∣an−A∣<ϵ|a_n-A|<\epsilon∣an​−A∣<ϵ恒成立,则数列{an}\{a_n\}{an​}的极限为AAA,记作:lim⁡n→∞an=A\lim_{n...

原创 极限唯一性的三种反证法

rt文章目录题目反证法_定义反证法_无穷小与函数的联系反证法_一个数不可能小于自身题目若lim⁡▲f(x)\lim_▲{f(x)}lim▲​f(x)存在,则其必唯一.为了方便叙述,这里以数列的情形给出.即an{a_n}an​极限存在,则必唯一.反证法_定义假设极限不唯一,则设lim⁡an=A\lim a_n=Aliman​=A或B,B,B,且A≠BA≠BA​=B.那么根据定义有:...

原创 三角函数与反三角函数的拓展

三角函数与反三角函数的拓展三角函数$\csc x$,余割$\sec x$,正割$\cot x$,余切反三角函数三角函数三角函数分为::sin⁡x,cos⁡x,tan⁡xcsc⁡x,sec⁡x,cot⁡x\sin x,\cos x,\tan x\\\csc x,\sec x,\cot xsinx,cosx,tanxcscx,secx,cotx它们分别叫做正弦、余弦、正切，余割、正割、余切。...