42、使用循环神经网络对序列数据进行建模

使用循环神经网络对序列数据进行建模

1. 引入序列数据

1.1 建模序列数据：顺序很重要

与其他类型的数据相比，序列的独特之处在于，序列中的元素按特定顺序出现，且彼此并非相互独立。典型的监督学习机器学习算法假设输入是独立同分布（IID）的数据，即训练示例相互独立且具有相同的潜在分布。基于这种相互独立性假设，训练示例提供给模型的顺序无关紧要。例如，鸢尾花数据集就是这种情况，每朵花的测量都是独立进行的，一朵花的测量结果不会影响另一朵花的测量结果。

然而，当处理序列时，这种假设并不成立。预测某只股票的市值就是一个例子。假设我们有 n 个训练示例，每个训练示例代表某只股票在特定一天的市值。如果我们的任务是预测未来三天的股票市值，那么按日期排序考虑之前的股票价格以得出趋势，而不是随机使用这些训练示例，是更合理的做法。

1.2 序列数据与时间序列数据

时间序列数据是一种特殊的序列数据，其中每个示例都与时间维度相关联。在时间序列数据中，样本是在连续的时间戳上采集的，因此时间维度决定了数据点之间的顺序。例如，股票价格和语音记录就是时间序列数据。

1.3 表示序列

我们已经确定数据点之间的顺序在序列数据中很重要，因此接下来需要找到一种方法，在机器学习模型中利用这种顺序信息。在本文中，我们将序列表示为 〈𝒙𝒙(1),𝒙𝒙(2), … , 𝒙𝒙(𝑇𝑇)〉 ，上标索引表示实例的顺序，序列的长度为 T。以时间序列数据为例，每个示例点 𝑥𝑥(𝑡𝑡) 都属于特定的时间 t。

标准的神经网络（NN）模型，如多层感知器（MLP）和用于图像数据的卷积神经网络（CNN），假设训练示例相互独立，因此不包含顺序信息。可以说，这些模型没有对之前看到的训练示例的记忆。例如，样本经过前馈和反向传播步骤，权重的更新与训练示例的处理顺序无关。

相比之下，循环神经网络（RNN）是为对序列进行建模而设计的，能够记住过去的信息并相应地处理新事件，这在处理序列数据时是一个明显的优势。

需要注意的是，并非所有的序列数据都具有时间维度，例如文本数据或 DNA 序列，这些示例是有序的，但不属于时间序列数据。不过，RNN 也可用于时间序列数据。

1.4 不同类型的序列建模

序列建模有许多有趣的应用，如语言翻译、图像字幕和文本生成等。为了选择合适的架构和方法，我们需要理解并区分这些不同的序列建模任务。根据输入和输出数据的关系，常见的序列建模任务可分为以下几类：
| 类型 | 输入 | 输出 | 示例 |
| — | — | — | — |
| 多对一 | 序列 | 固定大小的向量或标量 | 情感分析，输入是文本（如电影评论），输出是类别标签（如评论者是否喜欢这部电影） |
| 一对多 | 标准格式，非序列 | 序列 | 图像字幕，输入是图像，输出是总结图像内容的英文短语 |
| 多对多 | 序列 | 序列 | 可进一步分为同步和延迟两种情况。同步的多对多建模任务如视频分类，视频中的每一帧都被标记；延迟的多对多建模任务如语言翻译，机器必须先读取并处理整个英文句子，才能生成其德语翻译 |

2. 用于序列建模的 RNN

2.1 理解 RNN 的循环机制

RNN 的架构与标准的前馈神经网络有所不同。下面是标准前馈神经网络和 RNN 的对比：

graph LR
    classDef startend fill:#F5EBFF,stroke:#BE8FED,stroke-width:2px;
    classDef process fill:#E5F6FF,stroke:#73A6FF,stroke-width:2px;
    classDef decision fill:#FFF6CC,stroke:#FFBC52,stroke-width:2px;

    A([输入层 x]):::startend --> B([隐藏层 h]):::process
    B --> C([输出层 o]):::startend

    D([输入层 x]):::startend --> E([隐藏层 h]):::process
    E --> F([输出层 o]):::startend
    E -.->|循环连接| E

在标准的前馈网络中，信息从输入层流向隐藏层，再从隐藏层流向输出层。而在 RNN 中，隐藏层的输入来自当前时间步的输入层和上一个时间步的隐藏层。隐藏层中相邻时间步之间的信息流动使网络能够记住过去的事件，这种信息流动通常以循环的形式表示，这也是 RNN 名称的由来。

RNN 可以由多个隐藏层组成。通常，只有一个隐藏层的 RNN 被称为单层 RNN，但不要将其与没有隐藏层的单层神经网络（如 Adaline 或逻辑回归）混淆。

2.2 确定 RNN 的输出类型

通用的 RNN 架构可以对应输入为序列的两种序列建模类别。通常，循环层可以返回一个序列作为输出 〈𝒐𝒐(0),𝒐𝒐(1), … , 𝒐𝒐(𝑇𝑇)〉 ，或者只返回最后一个输出（在 t = T 时，即 𝒐𝒐(𝑇𝑇) ）。因此，它可以是多对多，也可以是多对一（例如，仅使用最后一个元素 𝒐𝒐(𝑇𝑇) 作为最终输出）。

在 TensorFlow Keras API 中，可以通过设置 return_sequences 参数为 True 或 False 来指定循环层返回序列输出还是仅使用最后一个输出。

2.3 展开 RNN 架构

为了研究 RNN 的架构和信息流动，可以将带有循环边的紧凑表示展开。在标准的神经网络中，每个隐藏单元只接收一个输入，即与输入层相关的净预激活值。而在 RNN 中，每个隐藏单元接收两个不同的输入：来自输入层的预激活值和上一个时间步（t - 1）同一隐藏层的激活值。

在第一个时间步 t = 0 时，隐藏单元初始化为零或小的随机值。在 t > 0 的时间步，隐藏单元的输入来自当前时间的数据点 𝒙𝒙(𝑡𝑡) 和上一个时间步的隐藏单元值 𝒉𝒉(𝑡𝑡−1) 。

对于多层 RNN，信息流动可以总结如下：
- 第一层：隐藏层表示为 𝒉𝒉1(𝑡𝑡) ，其输入来自数据点 𝒙𝒙(𝑡𝑡) 和上一个时间步同一层的隐藏值 𝒉𝒉1(𝑡𝑡−1) 。
- 第二层：第二个隐藏层 𝒉𝒉2(𝑡𝑡) 的输入来自当前时间步下一层的输出 𝒐𝒐1(𝑡𝑡) 和上一个时间步自身的隐藏值 𝒉𝒉2(𝑡𝑡−1) 。

由于每个循环层都必须接收序列作为输入，除最后一层外，所有循环层都必须返回序列作为输出（即 return_sequences=True ）。最后一个循环层的行为取决于具体问题的类型。

2.4 计算 RNN 中的激活值

现在我们已经了解了 RNN 的结构和信息流动，接下来具体计算隐藏层和输出层的实际激活值。为了简单起见，我们只考虑一个隐藏层，但相同的概念也适用于多层 RNN。

在 RNN 的表示中，每个有向边（框之间的连接）都与一个权重矩阵相关联。这些权重不依赖于时间 t，因此在时间轴上是共享的。单层 RNN 中的不同权重矩阵如下：
- 𝑾𝑾𝑥𝑥ℎ ：输入 𝒙𝒙(𝑡𝑡) 与隐藏层 h 之间的权重矩阵。
- 𝑾𝑾ℎℎ ：与循环边相关联的权重矩阵。
- 𝑾𝑾ℎ𝑜𝑜 ：隐藏层与输出层之间的权重矩阵。

在某些实现中，权重矩阵 𝑾𝑾𝑥𝑥ℎ 和 𝑾𝑾ℎℎ 会连接成一个组合矩阵 𝑾𝑾ℎ = [𝑾𝑾𝑥𝑥ℎ ; 𝑾𝑾ℎℎ] 。

隐藏层的净输入 𝒛𝒛ℎ（预激活值）通过线性组合计算，即计算权重矩阵与相应向量的乘积之和，并加上偏置单元：
[
𝒛𝒛ℎ(𝑡𝑡) = 𝑾𝑾𝑥𝑥ℎ𝒙𝒙(𝑡𝑡) + 𝑾𝑾ℎℎ𝒉𝒉(𝑡𝑡−1) + 𝒃𝒃ℎ
]
时间步 t 时隐藏单元的激活值计算如下：
[
𝒉𝒉(𝑡𝑡) = 𝜙𝜙ℎ(𝒛𝒛ℎ(𝑡𝑡)) = 𝜙𝜙ℎ(𝑾𝑾𝑥𝑥ℎ𝒙𝒙(𝑡𝑡) + 𝑾𝑾ℎℎ𝒉𝒉(𝑡𝑡−1) + 𝒃𝒃ℎ)
]
其中，𝒃𝒃ℎ 是隐藏单元的偏置向量，𝜙𝜙ℎ(∙) 是隐藏层的激活函数。

如果使用连接后的权重矩阵 𝑾𝑾ℎ = [𝑾𝑾𝑥𝑥ℎ; 𝑾𝑾ℎℎ] ，计算隐藏单元的公式将变为：
[
𝒉𝒉(𝑡𝑡) = 𝜙𝜙ℎ([𝑾𝑾𝑥𝑥ℎ;𝑾𝑾ℎℎ]
\begin{bmatrix}
𝒙𝒙(𝑡𝑡) \
𝒉𝒉(𝑡𝑡−1)
\end{bmatrix}
+ 𝒃𝒃ℎ)
]
计算出当前时间步隐藏单元的激活值后，输出单元的激活值计算如下：
[
𝒐𝒐(𝑡𝑡) = 𝜙𝜙𝑜𝑜(𝑾𝑾ℎ𝑜𝑜𝒉𝒉(𝑡𝑡) + 𝒃𝒃𝑜𝑜)
]

2.5 隐藏层循环与输出层循环

到目前为止，我们看到的循环网络中，隐藏层具有循环属性。但还有一种替代模型，其中循环连接来自输出层。在这种情况下，上一个时间步输出层的净激活值 𝒐𝒐𝑡𝑡−1 可以通过以下两种方式添加：
- 到当前时间步的隐藏层 𝒉𝒉𝑡𝑡 （如图所示的输出到隐藏层循环）。
- 到当前时间步的输出层 𝒐𝒐𝑡𝑡 （如图所示的输出到输出层循环）。

2.6 使用时间反向传播（BPTT）训练 RNN

RNN 的学习算法于 1990 年被提出。整体损失 L 是 t = 1 到 t = T 所有时间步损失函数的总和：
[
𝐿𝐿 = \sum_{t = 1}^{T} 𝐿𝐿(𝑡𝑡)
]
由于时间 t 的损失依赖于所有先前时间步 1 到 t 的隐藏单元，梯度的计算如下：
[
\frac{\partial 𝐿𝐿(𝑡𝑡)}{\partial 𝑾𝑾ℎℎ} = \frac{\partial 𝐿𝐿(𝑡𝑡)}{\partial 𝒐𝒐(𝑡𝑡)} \times \frac{\partial 𝒐𝒐(𝑡𝑡)}{\partial 𝒉𝒉(𝑡𝑡)} \times (\sum_{k = 1}^{t} \frac{\partial 𝒉𝒉(𝑡𝑡)}{\partial 𝒉𝒉(𝑘𝑘)} \times \frac{\partial 𝒉𝒉(𝑘𝑘)}{\partial 𝑾𝑾ℎℎ})
]
其中，(\frac{\partial 𝒉𝒉(𝑡𝑡)}{\partial 𝒉𝒉(𝑘𝑘)}) 是相邻时间步的乘积：
[
\frac{\partial 𝒉𝒉(𝑡𝑡)}{\partial 𝒉𝒉(𝑘𝑘)} = \prod_{i = k + 1}^{t} \frac{\partial 𝒉𝒉(𝑖𝑖)}{\partial 𝒉𝒉(𝑖𝑖 - 1)}
]

为了实际演示，我们使用 TensorFlow Keras API 手动计算一个循环类型的前向传播。以下是代码示例：

import tensorflow as tf
tf.random.set_seed(1)
rnn_layer = tf.keras.layers.SimpleRNN(
    units=2, use_bias=True,
    return_sequences=True)
rnn_layer.build(input_shape=(None, None, 5))
w_xh, w_oo, b_h = rnn_layer.weights
print('W_xh shape:', w_xh.shape)
print('W_oo shape:', w_oo.shape)
print('b_h  shape:', b_h.shape)

x_seq = tf.convert_to_tensor(
    [[1.0]*5, [2.0]*5, [3.0]*5],
    dtype=tf.float32)
# 输出 of SimpleRNN:
output = rnn_layer(tf.reshape(x_seq, shape=(1, 3, 5)))
# 手动计算输出:
out_man = []
for t in range(len(x_seq)):
    xt = tf.reshape(x_seq[t], (1, 5))
    print('Time step {} =>'.format(t))
    print('   Input           :', xt.numpy())

    ht = tf.matmul(xt, w_xh) + b_h
    print('   Hidden          :', ht.numpy())

    if t>0:
        prev_o = out_man[t-1]
    else:
        prev_o = tf.zeros(shape=(ht.shape))
    ot = ht + tf.matmul(prev_o, w_oo)
    ot = tf.math.tanh(ot)
    out_man.append(ot)
    print('   Output (manual) :', ot.numpy())
    print('   SimpleRNN output:', output[0][t].numpy())
    print()

在手动前向计算中，我们使用了双曲正切（tanh）激活函数，因为它也是 SimpleRNN 中的默认激活函数。从打印结果可以看出，手动前向计算的输出与 SimpleRNN 层在每个时间步的输出完全匹配。

2.7 学习长距离交互的挑战

前面简要提到的 BPTT 引入了一些新的挑战。在计算损失函数的梯度时，由于乘法因子 (\frac{\partial 𝒉𝒉(𝑡𝑡)}{\partial 𝒉𝒉(𝑘𝑘)}) 的存在，会出现所谓的梯度消失和梯度爆炸问题。基本来说，(\frac{\partial 𝒉𝒉(𝑡𝑡)}{\partial 𝒉𝒉(𝑘𝑘)}) 有 t - k 次乘法，因此将权重 w 自身相乘 t - k 次会得到一个因子 (w^{t - k}) 。如果 (|w| < 1) ，当 t - k 很大时，这个因子会变得非常小；如果循环边的权重 (|w| > 1) ，当 t - k 很大时，(w^{t - k}) 会变得非常大。大的 t - k 指的是长距离依赖。

在实践中，至少有三种解决方案可以解决这个问题：
- 梯度裁剪 ：为梯度指定一个截断或阈值，将超过该值的梯度值指定为这个截断值。
- 截断时间反向传播（TBPTT） ：简单地限制每次前向传播后信号可以反向传播的时间步数。例如，即使序列有 100 个元素或步骤，我们可能只反向传播最近的 20 个时间步。
- 长短期记忆网络（LSTM） ：由 Sepp Hochreiter 和 Jürgen Schmidhuber 于 1997 年设计，通过使用记忆单元，在处理长距离依赖时，在解决梯度消失和梯度爆炸问题上更为成功。

虽然梯度裁剪和 TBPTT 都可以解决梯度爆炸问题，但截断会限制梯度有效回流和正确更新权重的步数。而 LSTM 在处理长距离依赖时，在解决梯度消失和爆炸问题上表现更好，下面我们将详细讨论 LSTM。

3. 长短期记忆网络（LSTM）

3.1 LSTM 的基本原理

LSTM 是为了解决传统 RNN 在处理长序列时出现的梯度消失和梯度爆炸问题而设计的。它通过引入记忆单元和门控机制，能够更好地捕捉序列中的长距离依赖关系。

LSTM 单元主要由以下几个部分组成：
- 输入门（Input Gate） ：决定当前输入信息有多少可以进入记忆单元。
- 遗忘门（Forget Gate） ：决定上一时刻的记忆单元状态有多少需要被遗忘。
- 输出门（Output Gate） ：决定当前记忆单元的状态有多少可以输出到下一层。
- 记忆单元（Cell State） ：用于存储和传递序列中的长期信息。

3.2 LSTM 的数学公式

LSTM 的各个门和记忆单元的计算可以用以下公式表示：

遗忘门：
[
f_t = \sigma(W_f[h_{t - 1}, x_t] + b_f)
]

输入门：
[
i_t = \sigma(W_i[h_{t - 1}, x_t] + b_i)
]

候选记忆单元：
[
\tilde{C} t = \tanh(W_C[h {t - 1}, x_t] + b_C)
]

记忆单元更新：
[
C_t = f_t \odot C_{t - 1} + i_t \odot \tilde{C}_t
]

输出门：
[
o_t = \sigma(W_o[h_{t - 1}, x_t] + b_o)
]

隐藏状态更新：
[
h_t = o_t \odot \tanh(C_t)
]

其中，(\sigma) 是 sigmoid 函数，(\odot) 表示逐元素相乘，(W) 是权重矩阵，(b) 是偏置向量，(x_t) 是当前输入，(h_{t - 1}) 是上一时刻的隐藏状态，(C_{t - 1}) 是上一时刻的记忆单元状态。

3.3 LSTM 的优势

与传统 RNN 相比，LSTM 具有以下优势：
- 更好的长距离依赖处理能力 ：通过遗忘门和输入门的控制，LSTM 能够选择性地遗忘和更新记忆单元的状态，从而更好地捕捉序列中的长距离依赖关系。
- 缓解梯度问题 ：LSTM 的门控机制使得梯度在反向传播过程中能够更稳定地流动，减少了梯度消失和梯度爆炸的问题。

3.4 LSTM 在 TensorFlow 中的实现

以下是一个使用 TensorFlow Keras API 实现简单 LSTM 模型的示例代码：

import tensorflow as tf
from tensorflow.keras.models import Sequential
from tensorflow.keras.layers import LSTM, Dense

# 创建一个简单的 LSTM 模型
model = Sequential()
model.add(LSTM(units=64, input_shape=(None, 10)))
model.add(Dense(units=1, activation='sigmoid'))

# 编译模型
model.compile(optimizer='adam', loss='binary_crossentropy', metrics=['accuracy'])

# 打印模型结构
model.summary()

在这个示例中，我们创建了一个包含一个 LSTM 层和一个全连接层的简单模型，并使用 adam 优化器和二元交叉熵损失函数进行编译。

4. 截断时间反向传播（TBPTT）

4.1 TBPTT 的原理

TBPTT 是一种用于训练 RNN 的优化方法，它通过限制反向传播的时间步数，来缓解传统 BPTT 中出现的梯度消失和梯度爆炸问题。在 TBPTT 中，每次前向传播后，只对最近的一部分时间步进行反向传播，而忽略更早的时间步。

4.2 TBPTT 的操作步骤

以下是 TBPTT 的基本操作步骤：
1. 前向传播 ：对整个序列进行前向传播，计算每个时间步的隐藏状态和输出。
2. 截断反向传播 ：选择一个截断长度 (N)，从当前时间步开始，只对最近的 (N) 个时间步进行反向传播，计算梯度。
3. 更新权重 ：根据计算得到的梯度，更新模型的权重。
4. 重复步骤 1 - 3 ：直到完成所有序列的训练。

4.3 TBPTT 的优缺点

• 优点 ：

  • 减少了计算量，提高了训练效率。
  • 缓解了梯度消失和梯度爆炸问题。

• 缺点 ：

  • 可能会丢失一些长距离依赖信息，因为只对部分时间步进行反向传播。

5. 梯度裁剪

5.1 梯度裁剪的原理

梯度裁剪是一种简单而有效的方法，用于解决 RNN 训练过程中的梯度爆炸问题。它通过设置一个阈值，当梯度的范数超过该阈值时，将梯度进行缩放，使其范数不超过阈值。

5.2 梯度裁剪的操作步骤

以下是梯度裁剪的基本操作步骤：
1. 计算梯度 ：在反向传播过程中，计算模型参数的梯度。
2. 计算梯度范数 ：计算梯度的范数（通常使用 L2 范数）。
3. 判断是否需要裁剪 ：如果梯度范数超过预设的阈值，则进行裁剪；否则，保持梯度不变。
4. 裁剪梯度 ：将梯度进行缩放，使其范数等于阈值。
5. 更新权重 ：使用裁剪后的梯度更新模型的权重。

5.3 梯度裁剪在 TensorFlow 中的实现

在 TensorFlow 中，可以通过设置优化器的 clipnorm 或 clipvalue 参数来实现梯度裁剪。以下是一个示例代码：

import tensorflow as tf
from tensorflow.keras.models import Sequential
from tensorflow.keras.layers import SimpleRNN, Dense

# 创建一个简单的 RNN 模型
model = Sequential()
model.add(SimpleRNN(units=32, input_shape=(None, 10)))
model.add(Dense(units=1, activation='sigmoid'))

# 创建优化器并设置梯度裁剪
optimizer = tf.keras.optimizers.Adam(clipnorm=1.0)

# 编译模型
model.compile(optimizer=optimizer, loss='binary_crossentropy', metrics=['accuracy'])

# 打印模型结构
model.summary()

在这个示例中，我们使用 Adam 优化器，并设置 clipnorm=1.0 ，表示当梯度的 L2 范数超过 1.0 时，将进行裁剪。

6. Transformer 模型与自注意力机制

6.1 Transformer 模型简介

Transformer 是一种基于自注意力机制的序列建模架构，它在自然语言处理等领域取得了巨大的成功。与传统的 RNN 不同，Transformer 不依赖于循环结构，而是通过自注意力机制来捕捉序列中的长距离依赖关系。

6.2 自注意力机制的原理

自注意力机制允许模型在处理序列中的每个元素时，能够关注序列中的其他元素，从而更好地捕捉元素之间的关系。具体来说，自注意力机制通过计算每个元素与其他元素之间的相似度，来确定每个元素对当前元素的重要性，并根据重要性对其他元素的信息进行加权求和。

6.3 自注意力机制的计算步骤

自注意力机制的计算步骤如下：
1. 生成查询（Query）、键（Key）和值（Value）向量 ：对于输入序列中的每个元素，通过线性变换生成对应的查询、键和值向量。
2. 计算相似度 ：计算每个元素的查询向量与其他元素的键向量之间的相似度，通常使用点积运算。
3. 计算注意力权重 ：将相似度进行 softmax 归一化，得到每个元素对其他元素的注意力权重。
4. 加权求和 ：根据注意力权重，对其他元素的值向量进行加权求和，得到当前元素的输出。

6.4 Transformer 模型的结构

Transformer 模型主要由编码器（Encoder）和解码器（Decoder）组成。编码器用于对输入序列进行编码，提取序列的特征；解码器用于根据编码器的输出和之前生成的输出，生成目标序列。

以下是 Transformer 模型的结构示意图：

graph LR
    classDef startend fill:#F5EBFF,stroke:#BE8FED,stroke-width:2px;
    classDef process fill:#E5F6FF,stroke:#73A6FF,stroke-width:2px;
    classDef decision fill:#FFF6CC,stroke:#FFBC52,stroke-width:2px;

    A([输入序列]):::startend --> B(编码器):::process
    B --> C(解码器):::process
    C --> D([输出序列]):::startend

7. 总结

本文介绍了使用循环神经网络（RNN）对序列数据进行建模的相关知识，包括序列数据的特点、RNN 的结构和训练方法、LSTM、TBPTT、梯度裁剪以及 Transformer 模型和自注意力机制。

7.1 主要内容回顾

• 序列数据 ：序列数据中的元素按特定顺序出现，彼此相互依赖，与传统的独立同分布数据不同。
• RNN ：RNN 是一种专门用于处理序列数据的神经网络，通过循环结构能够记住过去的信息。
• LSTM ：LSTM 是一种改进的 RNN，通过引入记忆单元和门控机制，能够更好地处理长距离依赖关系。
• TBPTT ：TBPTT 通过限制反向传播的时间步数，缓解了梯度消失和梯度爆炸问题。
• 梯度裁剪 ：梯度裁剪通过设置阈值，防止梯度爆炸。
• Transformer 模型 ：Transformer 基于自注意力机制，不依赖于循环结构，在处理长序列时表现出色。

7.2 应用建议

在实际应用中，可以根据具体的任务和数据特点选择合适的模型和方法：
- 如果序列长度较短，可以考虑使用传统的 RNN。
- 如果序列长度较长，建议使用 LSTM 或 Transformer 模型。
- 在训练过程中，可以结合使用 TBPTT 和梯度裁剪来提高训练的稳定性。

希望本文能够帮助你更好地理解和应用 RNN 及其相关技术，在序列数据建模领域取得更好的成果。