29、计算复杂性理论中的Toda定理与交互式证明系统

计算复杂性理论中的Toda定理与交互式证明系统

1. Toda定理

Toda定理在计算复杂性理论中具有重要地位，它主要分为两部分，分别阐述了多项式层次结构（PH）与计数类之间的关系。

1.1 第一部分：PH ⊆ BPP⊕P

对于任意的 $x \in \Sigma^ $，至少有 3/4 的 $v \in \Sigma^{s(|x|)}$ 满足：$a(x)$ 为奇数当且仅当 $c(\langle x,v \rangle)$ 为奇数。同时，$a(x)$ 为奇数当且仅当 $x \in L$，$c(\langle x,v \rangle)$ 为奇数当且仅当 $\langle x,v \rangle \in C$。因此，对于任意的 $x \in \Sigma^ $，有：
[Pr_{v\in\Sigma^{s(|x|)}}[x \in L \Leftrightarrow \langle x,v \rangle \in C] \geq \frac{3}{4}]
这表明 $L \in BPP⊕P$。

接下来证明 $PH \subseteq BPP⊕P$，采用归纳法：
- 基础步骤 ：由推论 11.2 可知，$NP \subseteq BPP⊕P$。
- 归纳步骤 ：假设 $\Sigma_{i}^{P} \subseteq BPP⊕P$，要证明 $\Sigma_{i + 1}^{P} \subseteq BPP⊕P$，证明过程如下：
- $\Sigma_{i + 1}^{P} = NP^{\Sigma_{i}^{P}}$（根据定义