4、可计算性入门：图灵机及其相关概念

可计算性入门：图灵机及其相关概念

1. 图灵机基础

在现代计算机发明之前，图灵就描述了一种计算机器的理论模型——图灵机。尽管其结构简单，但却拥有卓越的特性，它的计算能力与其他任何计算设备相当。

图灵机的计算机内存以无限长纸带的单元形式线性排列。纸带的每个单元可以存储从有限纸带字母表 $\Gamma$ 中选取的一个符号。初始时，输入字 $w$ 以输入字母表 $\Sigma$ 中的形式放置在原本为空的纸带上。

图灵机有一个有限控制器，它连接着一个每次扫描纸带一个单元的读写头。控制器接下来的操作，如扫描不同符号或在方格上打印新符号，取决于其“内部状态”以及当前扫描的符号。

在一次移动中，图灵机执行以下三个操作：
1. 打印一个新符号。
2. 将读写头向左或向右移动一个单元。
3. 改变状态。

图灵机的状态数量是有限的，并且在任何时候只使用有限的内存。它有两个特殊指定的状态：接受状态 $q_{accept}$ 和拒绝状态 $q_{reject}$。当进入这两个状态之一时，图灵机停止运行。不过，对于某些输入，图灵机可能会永远运行下去。

形式上，图灵机 $M$ 可以表示为一个系统：
$M = \langle Q, \Sigma, \Gamma, \delta, q_0, B, q_{accept}, q_{reject} \rangle$
其中：
- $Q$ 是有限状态集。
- $\Gamma$ 是有限纸带字母表。
- $B \in \Gamma$ 是空白符号。
- $\Sigma$ 是输入字母表，且 $\Sigma \subseteq \Ga