32、立方时间内的控制流分析与对象的递归记录语义再探

立方时间内的控制流分析与对象的递归记录语义再探

立方时间内的控制流分析

在控制流分析领域，有几个重要的命题证明值得关注。

首先是命题1的证明，该证明分为三个阶段：
1. 公式转换 ：将公式 ( c = c_1 ∧···∧c_n ) 转换为 ( \tilde{c} )，把每个全称量化 ( ∀x : clause ) 替换为所有 ( N ) 种可能实例化的合取，每个存在量化 ( ∃x : pre ) 替换为所有 ( N ) 种可能实例化的析取。得到的子句 ( \tilde{c} ) 与 ( c ) 逻辑等价，大小为 ( O(N r_1 · n_1 + ··· + N r_m · n_m) )，并且是布尔型的，即没有变量或量化，所有文字都被视为零元谓词。
2. 公式变换 ：对于每个布尔HCS公式 ( F )，进行 ( F 7−→F_1, …, F_l ) 的变换，产生一系列布尔“几乎 - HC”公式 ( F_1, …, F_l )。变换规则如下：
- ( pre ⇒clause_1 ∧clause_2 7−→pre ⇒A_{fresh}, A_{fresh} ⇒clause_1, A_{fresh} ⇒clause_2 )
- ( pre_1 ⇒pre_2 ⇒clause 7−→pre_1 ∧pre_2 ⇒clause )
- ( pre ⇒1 7−→1 )
其中 ( A_{fresh} ) 是每次应用相关变换时生成的新的零元谓词。当无法再应用这些重写规则时，变换完成，结果为 ( \tilde{F} )。通过为公式分配成本，可以证明这个过程会终止，并且 ( \tilde{