6、交互式马尔可夫等价性的深入解析

交互式马尔可夫等价性的深入解析

1. 交互式马尔可夫等价（IME）基础

在封闭的交互式马尔可夫链（IMC）中，存在一种特殊的等价关系——交互式马尔可夫等价（IME）。例如，对于特定的封闭 IMC，由划分 { {s0}, {s1, s2}, {s3}, {s4}, {s5, s6, s7}, {s8}, {s9}} 诱导的等价关系就是一个 IME 关系。

值得注意的是，当封闭 IMC 满足某些条件时，IME 的定义会与其他等价关系重合：
- 当 MS = ∅ 时，IME 的定义与 Kripke 最小化等价（KME）一致。
- 当 IS = ∅ 时，IME 的定义与加权可归约性（WL）一致。

2. 商 IMC

对于 IME 关系 R 下的 IMC I，其商 IMC I/R 定义如下：
- 状态空间 ：S/R 是 R 下所有等价类的集合。
- 初始状态 ：s′0 = C，其中 s0 ∈ C = [s0]R。
- 转移关系 →′ ：
- 当 C ∈ I(S) 且 Pbr(s′, C, D) = 1，s′ ∈ Pred(C) 时，C τ−−→ D。
- 当 C ∉ I(S) 且存在 s ∈ C，s′ ∈ D 使得 s τ−−→ s′ 时，C τ−−→ D。
- 速率转移关系 ⇒′ ：
- 当 C ∈ M(S) 且 λ = wr(s′, C, D)，s′ ∈ Pred(C) 时，C λ−−→ D。
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