jzoj5889 【NOIP2018模拟9.29】完美集合

最新推荐文章于 2022-02-17 20:08:49 发布

jokerwyt

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分类专栏：题解数位问题

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数位问题

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本文探讨了完美数集的概念，即任意两个元素的异或运算结果仍在集合内。通过分析，将问题转化为求解特定条件下的线性空间数量。利用动态规划方法，构造线性基来解决当n为2^n-1和非2^n-1时的完美数集计数问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意

定义一个数集S是完美的， $任意a,b∈S，都有axorb∈S任意a,b\in S，都有axorb\in S$ 。求由1…n组成的完美数集有多少个。

分析

~~也就是求有多少个线性空间。~~
好吧说人话，首先要知道相同的数集插入线性基并回消后结果是唯一的。
一个完美集对应着他的线性基，一个线性基对应着一个完美集（也就是有 $2^{|B|}$ 个数的完美集。B是基的大小。）
既然唯一对应，那么问题就变成了构造线性基。
当n是2^n-1时，设 $f [i] [j]$ 表示从高位开始已经确定了I位的值，并且有j位有值。
那么，当前这一位可选（方案数为1）；可不选（方案数为2^j，前面的在这一位上可有可无。）

当n不是2^n-1时，要考虑大小问题。即线性基中能得出的最大数不能超过n。回消之后这个数是每一位上异或起来。再多开一维状态表示当前是否顶着n了，不选的时候讨论一下前面是放奇数个还是放偶数个就行。

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define get(a) (((n) & (1<<(a)-1))!=0)
#define max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mo = 1e9 + 7, inv2 = 500000004;
int n;
ll f[33][33][2];
int main() {
	freopen("set.in","r",stdin);
	freopen("set.out","w",stdout);
	cin>>n;
	f[32][0][1] = 1;
	for (int i = 32; i; i--) {
		for (int j = 0; j <= 32 - i; j++) {
			for (int a = 0; a < 2; a++) if (f[i][j][a]){
				int b = a && (get(i-1) == 0);
				f[i-1][j][b] = (f[i-1][j][b] + f[i][j][a] * max(1,(1<<j)/2) % mo) % mo;
				if (a == 0 || get(i-1) == 1) {
					b = a && (get(i-1) == 1);
					f[i-1][j][b] = (f[i-1][j][b] + f[i][j][a] * ((1<<j)/2) % mo) % mo;
					f[i-1][j+1][b] = (f[i-1][j+1][b] + f[i][j][a]) % mo;
				}
			}
		}
	}
	ll ans = 0;
	for (int i = 0; i <= 31; i++) ans = (ans + f[1][i][0] + f[1][i][1]) % mo;
	cout<<ans<<endl;
}