jzoj5271 神奇的救火现场（寻找性质dp）

最新推荐文章于 2020-08-04 12:15:22 发布

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本文探讨了如何求解括号匹配最小代价问题，提出了基于栈的方法来确定每个括号的最佳匹配位置，并通过动态规划计算出整个序列的最小代价。此外，还介绍了一种nlogn的可撤销贪心算法实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题面

这里写图片描述

分析

注意到最优序列一定是形似水-车或车-水的括号序，即不存在交叉的匹配对。
而且一对括号中间也是完整的括号序列，且不会有多余的，即水-车中间没有没有匹配的水，车-水中间没有没有匹配的车。

这样的话不难发现每一个地方它在最优序列中的匹配是唯一的，可以用栈搞出来。
然后就变成了设 $f[i]$ 表示搞完1..i的所有点，他匹配的最小代价。
对于每一个水，我们用前面和他匹配的车转移，对于车同理。

f [i] = f [l a s t - 1] + c o s t

$f[i]=f[last-1]+cost$
当前点是水的时候加多一个转移方法f[i]=f[i-1]，因为水可以跳过。

也有n log n的可撤销贪心做法，见下文

DEMO

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define abs(x) ((x)>0?(x):-(x))
#define mp make_pair
#define type second
#define loc first
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> P;

const ll N=1e5+10,INF=(1ll<<60);
ll f[N*2],s1[N*2],s2[N*2],c1[N*2],c2[N*2];
ll a[N],b[N],n,m,ans,o,last[N*2],cost[N*2];
P obj[N*2];
void init() {
    sort(obj+1,obj+1+n+m);
    for (int i=1; i<=n+m; i++) {
        if (obj[i].type==0) { //水
            if (obj[ s2[s2[0]] ].type==1) {
                last[i]=s2[s2[0]];
                cost[i]=c2[s2[0]]+obj[i].loc;
                c2[s2[0]-1]+=cost[i];
                c2[s2[0]--]=0;
            }
            s1[++s1[0]]=i;
            c1[s1[0]]=-obj[i].loc;
        } else { //车
            if (obj[ s1[s1[0]] ].type==0) {
                last[i]=s1[s1[0]];
                cost[i]=c1[s1[0]]+obj[i].loc;
                c1[s1[0]-1]+=cost[i];
                c1[s1[0]--]=0;
            }
            s2[++s2[0]]=i;
            c2[s2[0]]=-obj[i].loc;
        }
    }
}
int main() {
    freopen("fire.in","r",stdin);
    freopen("fire.out","w",stdout);
    cin>>m>>n;
    for (int i=1; i<=m; i++) scanf("%lld",&b[i]),obj[i]=mp(b[i],0);
    for (int i=1; i<=n; i++) scanf("%lld",&a[i]),obj[m+i]=mp(a[i],1);
    init();
    memset(f,127,sizeof f); f[0]=0;
//  for (int i=1; i<=n+m; i++) cout<<last[i]<<" "<<cost[i]<<endl;

    for (int i=1; i<=n+m; i++) {
        if (obj[i].type==0) f[i]=f[i-1];
        if (last[i]) f[i]=min(f[i],f[last[i]-1]+cost[i]);
    }
    cout<<f[n+m]<<endl;
}

nlogn可撤销贪心

与
jzoj5043 【NOI2017模拟4.4】保持平衡（可撤销贪心）类似，
开两个堆，对于一个车去前面找一个水，并合并后丢入车堆。
若水堆中没有元素则视为代价-INF，照常丢入车堆。因为下一个水如果要最优的话一定选这个车，车必须要选。
对于水类似，去找一个车。然后丢进水堆。
水可以不选，所以若这个代价不为负的话没有必要选，但是要照常丢入水堆留给后面的车选。