Dilworth定理

Dilworth定理

Dilworth定理：偏序集的最少反链划分数等于最长链的长度

举例来说，给定一个序列，集合$S$是$\ge$的偏序集合，并且序列元素都在$S$里面，把$S$的最小大小记为$|S_{\min }|$，则$|LIS|=|S_{\min }|$。其中$|LIS|$是最长上升子序列的长度。

也就是说，集合$S_{\min }$的划分是按照最长上升子序列的长度划分的。

求$|S_{min}|$还可以用朴素算法：选择序列的第一个元素，删除包括他在内的一个递减序列，重复这个操作，直到序列为空，可以用链表实现，时间复杂度最好为$O(n)$，最坏为$O(n^2)$。

证明待补充。

例题

P1020 导弹拦截