20、块常量矩阵中块边界的快速检测

块常量矩阵中块边界的快速检测

在许多实际应用中，自动检测受噪声干扰的块常量矩阵中的块边界是一个重要问题。例如，在分子生物学中，HiC技术提供的数据可以表示为一个矩阵，检测该矩阵的块边界有助于识别染色体上相互作用的区域，从而更好地理解染色体构象对细胞功能的影响。

1. 背景与问题提出

对于一维数据的变点检测问题，已有大量研究。常见的离线方法基于动态规划算法，但其时间复杂度为 $O(Kn^2)$，对于大规模数据集来说计算成本过高。后来有人将变点估计问题转化为变量选择问题，还有人将其扩展到寻找多个信号之间的共享变点。然而，对于二维数据（行数和列数可能非常大，如 $n × n ≈ 5000 × 5000$）的变点检测，目前可用的方法较少。

2. 统计框架

2.1 统计建模

我们的目标是从随机矩阵 $Y = (Y_{i,j}) {1\leq i,j\leq n}$ 中估计 $t_1^\star = (t {1,1}^\star, \cdots, t_{1,K_1^\star}^\star)$ 和 $t_2^\star = (t_{2,1}^\star, \cdots, t_{2,K_2^\star}^\star)$。其中，$Y$ 定义为 $Y = U + E$，$U = (U_{i,j})$ 是一个块常量矩阵，$E = (E_{i,j})$ 是零均值的独立同分布随机变量矩阵。

通过一系列变换，我们可以将模型 $Y = U + E$ 重写为稀疏高维线性模型 $Y = XB + E$，其中 $Y = Vec(Y)$，$X = T \otimes T$，$B = Vec(B)$，$E = Vec(E)$。这