19、绘制绕线蕾丝图：算法与挑战

绘制绕线蕾丝图：算法与挑战

1. 引言

在图论和图形绘制领域，绘制绕线蕾丝图是一个具有挑战性的问题。我们的目标是在满足特定条件下，为有向图绘制出合适的蕾丝图案。具体来说，给定一个满足条件 (C1 - C3) 的有向图 G，我们要找到一种线性时间的算法来绘制蕾丝图案，并且图案要绘制在一个 $O(n^4) × O(n^4)$ 的网格中。

2. 基本概念与引理

• Dehn 扭转的影响 ：Dehn 扭转是一种同胚变换，它可以改变图在环面上的绘制方式。如图 2 所示，同一个图在环面上的两种绘制可能仅通过 Dehn 扭转不同。虽然它们具有相同的组合嵌入，但左侧的红色（加粗）密切回路能回到起点，而右侧的密切回路则向右漂移。这表明仅固定图的组合嵌入是不够的。
• 引理 6 ：给定满足 (C1 - C3) 的有向图 G，存在一种 G 的绘制方式使得 (C4) 成立。证明基于 Dehn - Lickorish 定理，存在一个同胚变换能将任何简单、非可缩的循环映射到环面的 (1, 0) 同伦类，并且根据引理 5，这样的同胚变换会将 P(G) 中的所有元素映射到所需的同伦类。
• 定理 1 ：给定满足 (C1 - C3) 的有向图 G，我们可以在线性时间内绘制出蕾丝图案，且图案位于 $O(n^4) × O(n^4)$ 的网格中。证明思路是先找到一个满足 (C4) 的多边形模式，然后使用已知的直线矩形框架绘制算法来创建蕾丝图案。

3. 寻找多边形模式

一般来说，寻找具有不相交顶点内