18、伪圆排列与梭织花边图绘制

伪圆排列与梭织花边图绘制

在数学和图形绘制领域，伪圆排列和梭织花边图的绘制是两个有趣且具有挑战性的研究方向。下面将详细介绍这两个方面的相关内容。

伪圆排列的可视化

伪圆排列的可视化是研究中的一个重要环节。通过特定的框架可以自动生成大部分图形，该框架使用数学软件SageMath编写。具体步骤如下：
1. 编码与对偶图 ：通过对偶图对伪圆排列进行编码。排列中的每个面用一个顶点表示，当且仅当两个对应面共享一个公共伪线段时，两个顶点之间有一条边相连。由于排列是相交的，对偶图是3 - 连通的，因此其在球面上的嵌入（同构意义下）是唯一的。
2. 绘制原图 ：使用直线段绘制原图（多重图），其中顶点表示伪圆的交叉点，若两个顶点由伪圆段相连，则它们之间有边连接。在存在二边形的情况下会得到双边。
3. 图形特征 ：伪圆用不同颜色着色，三角形（除外部面）填充为灰色。在直线图中，对应二边形的边用两种相应颜色交替绘制为虚线，而在曲线图中，二边形由两个相应伪圆接触的点表示。

迭代Tutte嵌入

为了自动生成美观的图形，采用迭代加权Tutte嵌入的方法：
1. 初始设置 ：固定一个非二边形单元作为外部单元，将外部单元的顶点排列为正多边形的角。初始时所有边的权重都设为1，得到普通平面Tutte嵌入。
2. 迭代权重调整 ：对于第j次迭代，边e = {u, v}的权重（吸引力）与p(A(f1)) + p(A(f2)) + q(∥u - v∥/j)成正比，