16、Lombardi 图绘制与伪圆排列：理论与实践

Lombardi 图绘制与伪圆排列：理论与实践

1. Lombardi 图绘制基础

Lombardi 图绘制在图论领域有着独特的地位。对于 4 - 正则多面体图 (G = (V, E))，存在一个重要的结论：它可以进行平面 Lombardi 绘制。这为后续研究小图的绘制提供了基础。

在考虑小图时，我们聚焦于顶点数为 8 或更少的素纽结。研究发现，并非所有小纽结都能进行平面 Lombardi 绘制。具体来说，包含 (K_4) 子图的 4 - 正则平面多重图无法进行平面 Lombardi 绘制。下面是详细的证明思路：
- 假设与顶点情况分析 ：设 (K_4) 的顶点为 (a)、(b)、(c)、(d)。在 (K_4) 的平面嵌入中，总有一个顶点位于其他三个顶点构成的循环内部，设这个顶点为 (d)。由于 (d) 的度数为 4，它要么与 (a)、(b)、(c) 中的一个有多重边，要么与不同的顶点相连。在这两种情况下，(c) 都有两条边位于 (a)、(b)、(c) 构成的循环内部。
- Lombardi 绘制特性分析 ：假设图 (G) 可以进行 Lombardi 绘制，利用莫比乌斯变换不改变 Lombardi 绘制性质这一特点，可将边 ((a, b)) 画成直线段。因为 (c) 和 (d) 都是 (a) 和 (b) 的邻居，根据性质 1 会有两个对应的放置圆。又因为 4 - 正则图的 Lombardi 绘制中任意两条边夹角为 90°，且 (a) 和 (b) 本身相邻有“对齐切线”，所以这两个放置圆重合。这就导致在任何 Lombardi 绘制中，这四个顶点必须共圆。然而，连接 (c) 和 (d) 的缺失圆弧无法绘制，因