12、贝叶斯规则：从理论到实践的概率探索

贝叶斯规则：从理论到实践的概率探索

1. 贝叶斯规则基础：行星探测的概率启示

在行星探测中，当探测器报告发现生命时，我们能有大约 77% 的信心确定行星上确实存在生命。这一信心水平与探测器给出否定报告时不同，原因在于探测器设计上出现误报阳性结果的概率高于误报阴性结果。不过，从保护生命的角度出发，这样的结果总体是不错的。

为了提高对探测结果的信心，我们可以发送更多的探测器。但需要明确的是，无论发送多少探测器，我们都无法达到绝对的确定性。在某个时刻，比如第一次、第十次或者第一万次探测后，我们必须做出是否对行星进行开采的决策。

2. 重复运用贝叶斯规则：从单次到循环

2.1 单次运用贝叶斯规则

贝叶斯规则可以用来回答形如“在事件 B 为真的情况下，事件 A 为真的概率是多少”的问题。以抛硬币为例，有一枚公平硬币和一枚偏向正面的硬币，我们随机选择一枚硬币并抛掷，当硬币正面朝上时，我们可以计算出选择的是公平硬币的概率。这是贝叶斯规则的单次运用。

2.2 循环运用贝叶斯规则

我们可以将贝叶斯规则置于一个循环中，每次新的数据都会产生一个新的后验概率，而这个后验概率又会作为下一次观察的先验概率。具体步骤如下：
- 通常我们能从实验设置中确定似然概率 (P(B|A)) 和证据 (P(B))，但先验概率 (P(A)) 往往未知，需要我们根据问题进行猜测。
- 将这些值代入贝叶斯规则，计算出后验概率 (P(A|B))。
- 由于我们知道事件 B 已经发生，所以此时的后验概率 (P(A|B)) 就相当于新的先验概率 (P(A))。

例如，事件 B 是“天气暖和”，