10、非线性耗散系统降阶模型与高效求解方法

非线性耗散系统降阶模型与高效求解方法

在科学和工程领域，非线性耗散系统的时间依赖求解器计算成本高，开发高效的降阶模型（ROMs）成为重要研究方向。本文将介绍一种自适应的快照选择方法——自适应本征正交分解（APOD），以及基于LUPOD的全在线ROMs和配置点方法，以加速非线性耗散系统的求解。

自适应本征正交分解（APOD）

APOD是一种新的方法，能够从现有的快照池中选择快照，为每个时间步创建自适应基。与经典的本征正交分解（POD）方法相比，APOD能更好地捕捉非线性特性。

• 优点
  • 准确性高 ：在相似成本下，APOD能获得更准确的结果。
  • 稳定性好 ：对于少量模态，APOD比经典POD具有更好的稳定性。
• 局限性 ：该方法可能局限于具有清晰结构或有一个显著值的问题，以便能以适当的方式将快照与当前状态进行比较。

基于POD on the Fly的ROMs

为了生成低维近似，研究了POD加Galerkin投影的组合方法，即POD on the Fly。下面以一个具体的演化耗散问题为例进行说明。

考虑如下形式的演化耗散问题：
(\partial_tq = L q + f(q, t))
其中，(q(x, t))是状态向量，(L)是线性算子（通常涉及空间导数且为椭圆型），(f)是非线性的。经过空间和时间离散化后，得到：