22、组件模态综合与非线性滤波方法在流体流动模拟中的应用

组件模态综合与非线性滤波方法在流体流动模拟中的应用

在流体流动模拟领域，组件模态综合（Component Modal Synthesis，CMS）和非线性滤波（Nonlinear Filtering，NLF）是两种重要的方法。CMS方法可用于降低有限元求解的计算复杂度，而NLF方法则为高雷诺数下的湍流模拟提供了有效的解决方案。本文将详细介绍这两种方法的原理、误差估计、自适应算法以及相关的数值实验。

1. 组件模态综合（CMS）

1.1 离散追踪空间的基

G的零空间由四个12×1向量组成，每个向量包含了Γk上ck（k = 1, …, 12）的一组可允许值。切向速度、速度节点对以及G零空间的速度共同构成了离散追踪空间Zh|Γ的基。

1.2 后验误差估计

为了衡量降阶解相对于有限元解的误差e = uh - U m，通过从标准Galerkin方法（2.8）中减去CMS方法（3.9），可以得到e满足Galerkin正交性：
[a(e, z) = 0, \forall z \in Z_{h,m}]
利用Galerkin正交性和e ∈ Zh，可推导出误差的能量范数估计：
[|e| V \leq \sup {v \in Z_h} \sum_{i = 0}^{n} \frac{(R_i(U^m), v - \pi_{m_i}^i v)}{|v| V}]
其中，Ri(U m)是子空间残差，π {m_i}^i是（Fourier）级数展开算子。为了避免计算上式中的上确界，利用以下近似结果：
对于任意v ∈ Zh，有[|v - \pi_{m_i}^i v| \leq