4、常维码的构造

常维码的构造

1. 舒伯特簇与格拉斯曼流形

舒伯特簇是格拉斯曼流形 (G_q(k, n)) 的子簇。舒伯特簇 (S(\nu; F)) 关于普吕克坐标的定义方程，一方面是描述格拉斯曼流形 (G_q(k, n)) 的定义洗牌关系，另一方面还需满足一组线性方程。若仅描述球 (B_t)，这些方程会简化。

利用向量空间 (F_q^n) 内的自然内积，(k) 维子空间 (U \in G_q(k, n)) 与 ((n - k)) 维子空间 (U^{\perp} \in G_q(n - k, n)) 之间存在自然对偶性。这种对偶性诱导了格拉斯曼簇 (G_q(k, n)) 与 (G_q(n - k, n)) 之间的对偶，特别地，这两个格拉斯曼流形是同构的。若 (C \subseteq G_q(k, n)) 是子空间码，其对偶码 (C^{\perp} \subseteq G_q(n - k, n)) 与 (C) 具有相同的基数和最小子空间距离。因此，为研究码，只需考虑 (n \geq 2k) 时 (G_q(k, n)) 中的码。

格拉斯曼流形 (G_q(k, n)) 也是齐性空间。一般线性群 (GL_n) 通过“右乘”自然且可迁地作用于 (G_q(k, n))：
[G_q(k, n) \times GL_n \to G_q(k, n)]
[(rs(U), A) \mapsto rs(UA)]
这使得 (G_q(k, n)) 上每一点的切空间都是同构的，从而 (G_q(k, n)) 是光滑簇。若将上述 (GL_n) 作用限制到某个子群 (G \subseteq GL_n)，则可将 (G_q(k, n)) 划分为 (G) - 轨道。在编码理论中，特定的 (G) - 轨道定义