矩阵以特征值为系数的分解

先看结论：
$$A=\sum _{i=1}^n{\lambda }_i{v}_i^T{u}_i$$ 其中 $u_i,v_i$ 分别为 ${\lambda }_i$ 的左、右特征向量。

特别地，当 A 为对称阵时，$u_i=v_i$

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其实这是奇异值分解的特殊情况。

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考虑 $n$ 阶方阵$A$，对每一个特征值 ${\lambda }_i$，

右特征向量：
$$A{v}_i={\lambda }_i{v}_i,i=1,2,\dots ,n$$
左特征向量：
$$u_i^{T}A={\lambda }_i{u}_i^T,i=1,2,\dots ,n$$

对一个特征值而言，一定有左右两个特征向量，因为由右特征向量的定义：
$$(A-{\lambda }_{i}I)v=0$$ 意味着 $A-{\lambda }_{i}I$ 的列线性相关，等价于不满秩，那么它必然行线性相关，则一定存在$u$，使得
$$u^T(A-{\lambda }_{i}I)=0,$$所以左右特征向量是同时存在的。

可以证明，特征值${\lambda }_i$ 对应的左特征向量 $u_i$和特征值${\lambda }_j$的右特征向量 $v_j$ 正交。
证明如下：
$$A{v}_j={\lambda }_j{v}_j$$$$u_i^{T}A={\lambda }_i{u}_i^T$$$$u_i^{T}A{v}_j={\lambda }_i{u}_i^T{v}_j={\lambda }_j{u}_i^T{v}_j$$
推出：
$$({\lambda }_i-{\lambda }_j)u_i^T{v}_j=0$$
只能是
$$u_i^T{v}_j=0$$

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接下来看最终的证明：
$$A\left[\begin{array}{ccc}{v}_1& \cdots & v_n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{v}_1& \cdots & v_n\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}{\lambda }_1& & \\ & \ddots & \\ & & {\lambda }_n\end{array}\right]$$
$$\left[\begin{array}{c}{u}_1^T\\ ⋮\\ u_n^T\end{array}\right]A=\left[\begin{array}{ccc}{\lambda }_1& & \\ & \ddots & \\ & & {\lambda }_n\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{u}_1^T\\ ⋮\\ u_n^T\end{array}\right]$$
所以
$$\left[\begin{array}{ccc}{v}_1& \cdots & v_n\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{u}_1^T\\ ⋮\\ u_n^T\end{array}\right]A=A=\left[\begin{array}{ccc}{v}_1& \cdots & v_n\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}{\lambda }_1& & \\ & \ddots & \\ & & {\lambda }_n\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{u}_1^T\\ ⋮\\ u_n^T\end{array}\right]=\sum _{i=1}^n{\lambda }_i{v}_i^T{u}_i$$