能控性的几何表述

能控性的定义：

对于非零状态 $X_0$，如果存在时刻 $t_1>t_0$, 存在控制输入 $u(t),t\in [t_0,t_1]$，使得 $X(t_0)=X_0且X(t_1)=0$

简单地说，若某个状态就是能够通过控制达到零状态，则称它是可控的

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线性系统的状态方程：
$$\dot{X(t)}=AX(t)+Bu(t)$$
这是常微分方程里的非齐次方程，利用常数变异法可解出：
$$X(t)=e^{A(t-t_0)}X(t_0)+{\int }_{t_0}^t{e}^{A(t-\tau )}Bu(\tau )d\tau$$
于是 $X_0=X(t_0)$ 可控，等价于：
$$0=X(t_1)=e^{A(t_1-t_0)}X(t_0)+{\int }_{t_0}^{t_1}{e}^{A(t_1-\tau )}Bu(\tau )d\tau$$
得出
$$X(t_0)=-{\int }_{t_0}^{t_1}{e}^{A(t_0-\tau )}Bu(\tau )d\tau$$

因此，一个线性系统的能控状态集合可以表示称：
C={所有能控状态}={X∣X=−∫t0t1eA(t0−τ)Bu(τ)dτ,∃t0,t1,u(t),t∈[t0,t1]} C = \{所有能控状态\} \\= \bigg\{X|X= - \int_{t_0}^{t_1} e^{A(t_0-\tau)}Bu(\tau)d\tau, \exist t_0,t_1,u(t),t\in[t_0,t_1]\bigg\} C={所有能控状态}={X∣X=−∫t0​t1​​eA(t0​−τ)Bu(τ)dτ,∃t0​,t1​,u(t),t∈[t0​,t1​]}

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下面证明，系统的能控状态集合实际上是 ${\mathbb{R}}^n$ 中的一个线性子空间，即
$$\forall x_1,x_2\in C\Rightarrow k_1{x}_1+k_2{x}_2\in C,\forall k_1,k_2\in \mathbb{R}$$
证明：
$x_1$ 能控 $\iff$ $\exists u_1(t)$, 在 $t_1$ 时刻使得状态从 $x_1$ 归零
$x_2$ 能控 $\iff$ $\exists u_2(t)$, 在 $t_2$ 时刻使得状态从 $x_2$ 归零
不妨假设 $t_2>t_1$, 那么我们可以选取如下控制：
$$u(t)=\{\begin{array}{lr}{k}_1{u}_1+k_2{u}_2,t\le t_1& \\ k_2{u}_2,t_1<t\le t_2& \end{array}$$
使得状态从 $k_1{x}_1+k_2{x}_2$ 归零，即$k_1{x}_1+k_2{x}_2$ 能控 。

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既然 能控状态集合是一个子空间，那么自然可以问，它会不会是全空间呢？

实际上是有可能的。

如果系统的能控子空间是全空间，那么这个系统就是完全能控的了！