几何建模-几何内核基础

1.三维形体的表示

三维造型技术是建立恰当的模型来表示自然界中形态丰富的三维物体的技术，根据造型对象将造型技术分成3类。

• 第一类是曲面造型

主要研究计算机内如何描述一张曲面，及曲面的显示与控制。曲面造型又分成规则曲面和不规则曲面两种。不规则曲面造型方法主要有贝塞尔曲线曲面、B样条曲线曲面和孔斯曲面等。（二维曲线：Nurbs（通过拟合点）、三次B样条（通过控制点）、贝塞尔（控制点和拟合点重合）和波浪线（B样条）））

• 第二类是立体造型方法

主要研究在计算机内如何定义、表示一个三维物体，主要有体素构造法、边界表示法和八叉数法等等。曲面造型和立体造型合称几何模型造型。该技术主要应用在机械行业辅助设计制造领域（CAD）。

• 第三类是自然景物模拟

主要研究在计算机内如何模拟自然景物，如云、流水、树等。该造型技术主要应用在游戏和艺术造型等领域。

2.几何模型的表示

在计算机中，表示几何形体的方法通常有三种：线框模型、表面模型和实体模型

2.1 线框模型

该模型采用三维形体的全部顶点及边的集合来描述三维形体，即用顶点表和边表两个表的数据结构来表示三维模型。每条边由两个顶点表示。

主要优点是结构简单，处理容易。描述二维目标十分理想。但对三维物体，存在如下缺点：

1）没有面的信息，它不能表示表面含有曲面的物体。

2）不能明确定义点与物体之间的关系。

3）点和边信息容易出现二义性。

2.2 表面模型

在线框模型的基础上，增加了物体中的面的信息，用面的集合来表示物体，每个面由多条有向边构成，用环来定义面的边界，即是用顶点表、边表和面表来描述模型。 表面模型又分为平面模型和曲面模型。前者以多边形网格为基础。后者以参数曲面块为基础。

表面模型存在的不足就是它只能表示物体的表面边界，而不能表达出真实实体的属性，很难确认一个表面模型表示的三维图形是一个实体还是一个空壳。这个不足，在实体模型中得到了解决。

2.3 实体模型

实体模型是最高级的模型，它能完整表示物体的所有形体信息，可以无歧义地确定一个点是在物体外部还是内部或表面上。

实体模型使用有向边的右手法则来确定所在面的外法线方向。即用右手沿边的顺序方向握住，大拇指所指向为该面的外法线方向。法线方向指向体外。

实体模型存在着不同的数据结构，在这些结构中存在一个共同点，即数据结构不仅记录了物体全部的几何信息，而且还记录了所有的点、线、面、体的拓扑信息（即空间位置关系）。实体模型的构造通常使用体素（即原始的基本实体），经集合论中的交、并、差运算构成复杂形体。

1． 实体的定义

实体就是有效的物体，即客观世界中确实存在的物体，要在计算机内表示、构造一个实体，就必须给出实体的确切定义（即用最小的数据结构唯一地确定实体的形状和位置。）如下图带有悬挂面的立方体就不是实体，在客观世界中不可能存在这样的物体。

作为实体应满足如下条件：

• 刚性。一个实体必须具有一定的形状（流体不属于实体）
• 维数一致性。一个实体的各个部分必须是三维的，不能存在悬挂的、孤立的边界。
• 有限性。一个实体必须占有有限的空间。
• 边界确定性。根据实体的边界，可确定实体的内部或外部。
• 封闭性。经过集合运算后，仍然是有效的实体。