子空间的旋转

矩阵 $X\in {\mathbb{R}}^{n\times 3}$，其列向量张成了 n 维空间中的一个线性子空间 V=span{X}=span{x1,x2,x3}V = span\{X\} = span\{x_1,x_2,x_3\}V=span{X}=span{x1​,x2​,x3​}。那么对于任意一个满秩的 3 维矩阵 $P\in {\mathbb{R}}^{3\times 3}$：span{X}=span{XP}span\{X\} = span\{XP\}span{X}=span{XP}

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证明：
$$Y\triangleq XP\in {\mathbb{R}}^{n\times 3}$$
则有$$y_j=\sum _{i=1}^3{x}_i{P}_{ij}$$
所以∀y∈span{Y},  ∃αi,  y=∑i=13αiyi=∑i=13αi∑j=13xjPji=∑j=13xj∑i=13αiPji⇒y∈span{X}⇒span{Y}⊆span{X} \forall y \in span\{Y\},\; \exist \alpha_i,\; \\ y = \sum_{i=1}^3 \alpha_i y_i\\= \sum_{i=1}^3 \alpha_i \sum_{j=1}^3 x_j P_{ji} \\= \sum_{j=1}^3 x_j \sum_{i=1}^3 \alpha_iP_{ji} \\\Rightarrow y \in span\{X\} \Rightarrow span\{Y\} \subseteq span\{X\}∀y∈span{Y},∃αi​,y=i=1∑3​αi​yi​=i=1∑3​αi​j=1∑3​xj​Pji​=j=1∑3​xj​i=1∑3​αi​Pji​⇒y∈span{X}⇒span{Y}⊆span{X}
另一方面X=YP−1≜YQ⇒span{X}⊆span{Y}X = YP^{-1} \triangleq YQ\\\Rightarrow span\{X\} \subseteq span\{Y\}X=YP−1≜YQ⇒span{X}⊆span{Y}
综上
span{X}=span{Y}=span{XP}span\{X\} = span\{Y\} = span\{XP\}span{X}=span{Y}=span{XP}