子空间的旋转

矩阵 $X\in {\mathbb{R}}^{n\times 3}$，其列向量张成了 n 维空间中的一个线性子空间 V = s p a n { X } = s p a n { x 1 , x 2 , x 3 } V = span\{X\} = span\{x_1,x_2,x_3\} V=span{X}=span{x1​,x2​,x3​}。那么对于任意一个满秩的 3 维矩阵 $P\in {\mathbb{R}}^{3\times 3}$： s p a n { X } = s p a n { X P } span\{X\} = span\{XP\} span{X}=span{XP}

---

证明：
$$Y\triangleq XP\in {\mathbb{R}}^{n\times 3}$$
则有$$y_j=\sum _{i=1}^3{x}_i{P}_{ij}$$
所以 ∀ y ∈ s p a n { Y } ,    ∃ α i ,    y = ∑ i = 1 3 α i y i = ∑ i = 1 3 α i ∑ j = 1 3 x j P j i = ∑ j = 1 3 x j ∑ i = 1 3 α i P j i ⇒ y ∈ s p a n { X } ⇒ s p a n { Y } ⊆ s p a n { X } \forall y \in span\{Y\},\; \exist \alpha_i,\; \\ y = \sum_{i=1}^3 \alpha_i y_i\\= \sum_{i=1}^3 \alpha_i \sum_{j=1}^3 x_j P_{ji} \\= \sum_{j=1}^3 x_j \sum_{i=1}^3 \alpha_iP_{ji} \\\Rightarrow y \in span\{X\} \Rightarrow span\{Y\} \subseteq span\{X\} ∀y∈span{Y},∃αi​,y=i=1∑3​αi​yi​=i=1∑3​αi​j=1∑3​xj​Pji​=j=1∑3​xj​i=1∑3​αi​Pji​⇒y∈span{X}⇒span{Y}⊆span{X}
另一方面 X = Y P − 1 ≜ Y Q ⇒ s p a n { X } ⊆ s p a n { Y } X = YP^{-1} \triangleq YQ\\\Rightarrow span\{X\} \subseteq span\{Y\} X=YP−1≜YQ⇒span{X}⊆span{Y}
综上
s p a n { X } = s p a n { Y } = s p a n { X P } span\{X\} = span\{Y\} = span\{XP\} span{X}=span{Y}=span{XP}