受控自回归滑动平均模型（ARMAX）的系统辨识

最新推荐文章于 2023-01-07 11:24:22 发布

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#CARMA #ARMAX #系统辨识

本文介绍一种基于最大似然法的CARMA模型系统辨识方法，详细阐述了似然函数、梯度与海森矩阵的计算过程，适用于带外部输入的自回归滑动平均模型的参数估计。

文章目录

系统模型
似然函数
辨识过程
关于参数的梯度与海森矩阵
- 梯度
- 海森矩阵

受控自回归滑动平均模型 (Controled Auto Regression and Moving Average model, CARMA)，亦称带外部输入的自回归滑动平均模型 (Auto Regression and Moving Average model with eXogenous input, ARMAX)是应用非常广泛的线性系统模型，本文介绍该模型的一种系统辨识方法：最大似然法。

系统模型

$y_k + a_1y_{k-1} + \cdots a_n y_{k-n} = \\ b_1u_{k-1}+ b_n u_{k-n} + e_{k} + c_1 e_{k-1} + \cdots + c_n e_{k-n}$
即
$y_k = -\sum_{i=1}^n a_iy_{k-i} + \sum_{i=1}^n b_i u_{k-i}+ \sum_{i=1}^n c_i e_{k-i} + e_{k}$
该模型在 ARMA 的基础上考虑了外部输入 $u (k)$ 对输出的影响，为方便讨论，在此设定 $a, b, c$ 的下标都是从 $1$ 到 $n$ ，实际上不必如此。

似然函数

在数理统计学中，似然函数是一种关于统计模型中的参数的函数，表示模型参数中的似然性。
给定输出x时，关于参数θ的似然函数L(θ|x)（在数值上）等于给定参数θ后变量X的概率：

$L(\theta | X) = P(X|\theta)$

在统计学中，“似然性”和“概率”有明确的区分。概率用于在已知一些参数的情况下，预测接下来的观测所得到的结果，而似然性则是用于在已知某些观测所得到的结果时，对有关事物的性质的参数进行估计。

假定误差 $e (k)$ 服从 $0$ 均值、方差为 $\sigma^2$ 的高斯分布，则有似然函数为：
$\begin{array}{ll} P(Y_N | U_N,\Theta) &= P(y_N, \ldots | u_N, \ldots, \Theta) \\\\ &= P(y_0)\Pi _{k=1}^NP(y_k| Y_{k-1},U_N,\Theta) \\\\ &= P(y_0)\Pi _{k=1}^NP(e_k) \\\\ &= P(y_0)(2\pi)^{-N/2}\sigma^{-N} \exp \left[ -(1/2\sigma^2)\sum_{k=1}^N e_k^2\right] \tag{1} \end{array}$
其中
$\begin{array}{ll} e_k &= y_k - \phi_i \Theta \\\\ \phi_k & = [-y_{k-1}, \ldots, -y_{k-n} | u_{k-1}, \ldots, u_{k-n} | e_{k-1}, \ldots, e_{k-n}]^\top \\\\ \Theta &= [a_1, \ldots, a_n | b_i, \ldots, b_n | c_1, \dots, c_n ]^\top \end{array}$