求数组最大最小值的数值方法

给定一个数组$A=[a_i]$，求它的最大值或最小值，一般会用遍历查找或排序的方法，但其实可以直接用计算的方法求出数组的最大最小值。

$$max(A)=\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{a_1^n+\cdots +a_N^n}$$
$$\begin{gathered} max(A)=\underset{\beta \to \infty }{\lim }\frac{1}{\beta }\log \left(e^{\beta a_1}+\cdots +e^{\beta a_N}\right) \\ min(A)=\underset{\beta \to -\infty }{\lim }\frac{1}{\beta }\log \left(e^{\beta a_1}+\cdots +e^{\beta a_N}\right) \end{gathered}$$

证明也很简单。

下面用程序来说明：

import numpy as np

def max1(A):
    n = 100
    return pow(np.sum(A**n),1/n)

def max2(A):
    beta = 10
    return np.log(np.sum(np.exp(beta*A)))/beta


A = np.array([i for i in range(10)])+0.001
print(A)

print(max1(A))
print(max2(A))

'''
[1.000e-03 1.001e+00 2.001e+00 3.001e+00 4.001e+00 5.001e+00 6.001e+00 7.001e+00 8.001e+00 9.001e+00]
9.001000691258799
9.001004540096037
'''

需要注意的是，这种近似方法容易出现数值溢出，使用时须谨慎