12、无理传递函数中稳定性和无源性的保持

无理传递函数中稳定性和无源性的保持

1. 引言

传递函数的正实性概念在稳定性理论中起着核心作用。有理正实（PR）函数的定义源于电路理论和网络综合。正实系统（也称为无源系统）不产生能量，而严格正实（SPR）系统会耗散能量。这些系统在非线性Lur’e系统的绝对稳定性分析、自适应控制方案设计等方面具有重要意义。

在以往的研究中，对于有限维线性时不变系统，使用零相对度的严格正实函数（SPR0）或零相对度的正实函数（PR0）替代实有理函数中的变量s，已证明这种替代能保持稳定性、无源性、$H^{\infty}$ - 范数和互质分解等性质。本文将这些结果扩展到更一般的系统，即具有无理$H^{\infty}$函数的无源系统，如具有分布参数的线性系统和延迟线性系统。

2. 动机

无源性在多个科学领域中是一个重要的性质，下面通过两个例子来说明分布系统中的无源性。

2.1 无源线性分布系统

无损传输线的动力学由波动方程描述：
$\frac{\partial^{2}v(t,x)}{\partial t^{2}} = c^{2}\frac{\partial^{2}v(t,x)}{\partial x^{2}}$
其中，$v(t,x)$ 是沿传输线的电压，$c$ 是波传播速度。利用基尔霍夫电压和电流定律，可以描述传输线的动态行为。传输线可以建模为分布的串联电感$Ldx$和并联电容，其动态方程为：
$\frac{\partial i(t,x)}{\partial t} = -\frac{1}{L}\frac{\partial v(t,x)}{\partial x}$
$\frac{\partial v(