13、符号回归中的模型验证、简化与选择

符号回归中的模型验证、简化与选择

在符号回归（Symbolic Regression）领域，模型的验证、简化和选择是确保模型质量和性能的关键步骤。本文将介绍相关的理论和方法，并通过实际案例展示如何应用这些技术。

1. 信息矩阵与模型选择标准

1.1 费舍尔信息矩阵

费舍尔信息矩阵 (I(\theta)) 与参数估计的标准误差相关，其定义为：
((I(\theta))_{i,j} = -\frac{\partial^2}{\partial\theta_i\partial\theta_j} \log L(\theta))
其中，(L(\theta)) 是似然函数。费舍尔信息值越大，似然函数的峰值越陡峭，参数估计越精确（标准误差越低）。

1.2 模型选择标准

常用的模型选择标准包括 AIC（Akaike Information Criterion）、BIC（Bayesian Information Criterion）和 DL（Description Length）。对于符号回归模型，这些标准的计算相对简单，只需要模型给定数据的似然、训练观测数 (n)、模型参数数 (k) 以及噪声方差 (\sigma_{err}^2) 的近似值。

1.3 标准比较

以 Friedman 函数为例，生成 21 个不同的模型，并使用不同的标准进行选择。结果表明，在这个简单的例子中，BIC 的表现最好。同时，10 折交叉验证（CV）的结果与测试误差相关性良好，基于 CV 分数选择的最大树大小为 30 节点，与测试误差最佳的配置一致。