11、概率与统计：从随机变量到数据采样

概率与统计：从随机变量到数据采样

1. 泊松分布与随机变量

在现实世界中，许多事件的发生具有随机性，我们可以使用概率来解释这些随机现象。泊松分布是一种常用的概率分布，用于描述在给定时间间隔内事件发生的次数。

若用 (X) 表示给定时间间隔内的事件数量，(\lambda) 表示该时间间隔内事件发生的平均次数，那么在给定时间间隔内观察到 (X) 次事件的概率可以用以下公式计算：
[P(X = k)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^{k}}{k!}]
其中 (e) 是欧拉常数（(e\approx2.718)）。

以呼叫中心为例，假设呼叫中心每小时接到的电话数量服从泊松分布，平均每小时接到 5 个电话。那么在晚上 10 点到 11 点之间恰好接到 6 个电话的概率是多少呢？
设 (X) 为晚上 10 点到 11 点之间接到的电话数量，这是一个泊松随机变量，均值 (\lambda = 5)。
将 (\lambda = 5)，(k = 6) 代入公式可得：
[P(X = 6)=\frac{e^{-5}\times5^{6}}{6!}\approx0.146]
这意味着在晚上 10 点到 11 点之间恰好接到 6 个电话的概率约为 14.6%。

泊松随机变量的期望值和方差也有特殊的计算方法。如果 (X) 是一个均值为 (\lambda) 的泊松随机变量，那么它的期望值 (E(X)) 和方差 (Var(X)) 都等于 (\lambda)。

除了离散随机变量，还有连续随机变量。与离散随机变量不同，连续随机变量可以取无限多个可能的值，而不仅仅是几个可数的值。描述连续随机变量分布的函