98、网络环境下的算法研究与应用

网络环境下的算法研究与应用

在当今的网络环境中，涉及到多个重要的研究领域，包括树结构中的弱准孔多塞胜者问题、网页遍历模式挖掘以及搜索引擎切换行为分析。这些研究不仅在理论上具有重要意义，还在实际应用中有着广泛的价值。

树的弱准孔多塞胜者

在树结构的研究中，Romero、Hansen和Thisse指出，由树上的距离所诱导的序族保证了弱孔多塞胜者的存在。弱孔多塞点是使到个体位置的总距离最小的点。

对于带有顶点权重和边长度函数的树，我们可以找到修改后的弱准孔多塞胜者。给定两个顶点 (v, x \in V)，定义 (v) 相对于 (x) 的准朋友顶点集为 (F_G(v, x) = {u : d_G(u, v) \leq d_G(u, x)})，敌对顶点集为 (H_G(v, x) = {u : d_G(u, v) > d_G(u, x)})。

根据修改后的弱准孔多塞胜者的定义，若对于任意顶点 (x \neq v_0)，满足 (\omega(F_G(v_0, x)) \geq \frac{1}{2}\omega(G))，或者等价地 (\omega(F_G(v_0, x)) \geq \omega(H_G(v_0, x)))，则顶点 (v_0 \in V) 是图 (G) 的修改后的弱准孔多塞胜者。

这里还有几个重要的定理：
- 定理1 ：每棵树有一个修改后的弱准孔多塞胜者，或者两个相邻的修改后的弱准孔多塞胜者，并且可以在线性时间内找到。
- 定理2 ：设 (T) 是一棵树，那么 (v_0) 是 (T) 的修改后的弱准孔多塞胜者当且仅当 (v_0) 是 (T) 的重心。
- 定理3 ：设 (T = (V, E)) 是一棵树，(N = {1, 2, \cdots, n}) 是具有正权重 (\omega : N \to R^+) 的零售商集合，选择修改后的弱准孔多塞胜者的多数规则 (\pi : V^n \to V) 满足（群体）策略防卫性。

对于连通配送中心分配问题，我们可以使用以下实用算法来找到修改后的弱准孔多塞胜者：
1. 找到图 (G) 的最小生成树，记为 (T = (V, l’(e)))，其中 (l’(e) \subseteq l(e))。
2. 选取 (T) 的悬挂顶点 (v)，使得 (w(v) < \frac{1}{2}w(T))。
3. (T - v \Rightarrow T)，(w(v) + w(u) \Rightarrow w(u))，其中 (u) 是 (v) 的（唯一）邻居。
4. (n - 1 \Rightarrow n)，如果 (n = 1)，或者 (n = 2) 且两个顶点具有相同的权重，则停止；否则转到步骤2。

下面是该算法的流程图：

graph TD;
    A[开始] --> B[找到图G的最小生成树T];
    B --> C[选取悬挂顶点v，使w(v) < 1/2w(T)];
    C --> D[T - v => T，w(v) + w(u) => w(u)];
    D --> E[n - 1 => n];
    E --> F{n = 1 或 n = 2且权重相同?};
    F -- 是 --> G[停止];
    F -- 否 --> C;

网页遍历模式挖掘

在网页环境中，用户获取信息的效率和准确性变得越来越重要，用户对网页的访问模式对于网页系统设计者和市场分析者等非常有用。

当前网页环境中挖掘用户模式的研究主要集中在两个方向：基于规则的模式计算和基于拓扑的模式计算。在基于规则的方法中，将用户访问记录视为关系数据库中的表，输出发现的关联规则；在基于拓扑的方法中，将网页环境视为有向图，用户对网页的访问视为沿着边的行走，计算特定拓扑下的频繁用户行走模式。

现有的基于拓扑的研究存在局限性，要么只考虑简单的网页搜索模式（即前向遍历路径），要么在解决前一个问题后使用复杂的算法。为了解决这些问题，我们提出了一种高效的 MFTP（最大频繁遍历模式）算法。

以下是 MFTP 算法的步骤：
- 输入 ：(V = { v_1, \cdots, v_i })，这里 (V) 是节点集。
- 输出 ：(L_k)。
- 步骤 ：
1. 初始化步骤 (C_1 = { v_1, \cdots, v_i })，(k = 1)。
2. 重复直到找到 MFTP：
- 计算 (C_k) 中每个元素在 (D) 中出现的频率。
- 通过选择 (C_k) 中频率高于最小频率或用户定义频率的元素来计算 (L_k) 集。
- (C_{k + 1} = L_k \times L_k)（执行笛卡尔积以保持顺序）。
- 将重复的节点转换为一个节点。
- (k = k + 1)。

下面是 MFTP 算法的步骤对比表格：
| 比较因素 | MFTP | 现有算法[2 - 3] | 现有算法[4 - 7] |
| — | — | — | — |
| 通用性 | 支持循环图，考虑前向和后向路径 | 仅支持无环模式，忽略后向路径 | 支持循环图，考虑前向和后向路径 |
| 简单性 | 使用顺序子路径的简单算法 | 简单算法，但缺乏通用性 | 使用非顺序子路径或额外算法的复杂算法 |

以下是 MFTP 算法的流程图：

graph TD;
    A[开始] --> B[初始化C1 = {v1, ..., vi}，k = 1];
    B --> C[重复];
    C --> D[计算Ck中元素在D中出现的频率];
    D --> E[选择频率高于阈值的元素计算Lk];
    E --> F[Ck+1 = Lk X Lk];
    F --> G[转换重复节点];
    G --> H[k = k + 1];
    H --> I{找到MFTP?};
    I -- 否 --> C;
    I -- 是 --> J[输出Lk];

网络环境下的算法研究与应用

搜索引擎切换行为分析

在当今竞争激烈的网络搜索领域，各搜索引擎都在努力提升搜索体验以扩大市场份额。我们提出了一个简单的框架，基于用户点击流数据来刻画搜索引擎之间的切换行为。

框架概述

首先，我们将用户点击流划分为用户序列。点击流会被分割成各个会话，每个会话会被分配一个代表性的时间戳。然后，根据会话在搜索引擎间的使用情况为其分配一个标签。例如，给定两个搜索引擎 (X) 和 (Y)，可以为仅使用 (X) 的会话分配标签 ‘(X)’，仅使用 (Y) 的会话分配标签 ‘(Y)’，同时使用两者的会话分配标签 ‘(XY)’，这种方式可扩展到多个引擎的情况。

指定两个相邻的时间段 (t) 和 (t + 1)，为每个用户构建两个带标签的会话序列 ((S_t, S_{t + 1}))，其中 (S_t) 表示时间段 (t) 内的序列，(S_{t + 1}) 表示时间段 (t + 1) 内的序列，这些序列作为框架的输入。

接下来，我们对时间段 (t) 和 (t + 1) 内的用户序列应用聚类过程，找到 (K) 个聚类。每个用户会被分配两个聚类成员资格 (C_t = f(S_t)) 和 (C_{t + 1} = f(S_{t + 1}))，其中 (f) 是由聚类过程生成的模型，(C_t) 和 (C_{t + 1} \in {1, 2, 3, \cdots, K})。

我们构建从时间段 (t) 到 (t + 1) 从使用类别 (i) 到使用类别 (j) 的用户数量的频率表，用 (F_{ij}) 表示从类别 (i) 转换到类别 (j) 的用户数量。过渡概率矩阵 (P) 的每个元素 (P_{ij}) 表示在时间段 (t) 处于类别 (i) 的用户在时间段 (t + 1) 处于类别 (j) 的条件概率，计算公式为：
[P_{ij} \equiv \frac{F_{ij}}{\sum_{j = 1}^{K}F_{ij}}]
并且 (\sum_{j}\hat{P}_{ij} = 1)。

当 (s) 趋近于无穷大且假设 (P) 是非周期性的时，从时间 (t) 到 (t + s) 的过渡概率 (P^s) 将收敛到 (P^*)，所有行都等于极限概率向量。设 (\Pi^T = (\pi_1, \pi_2, \cdots, \pi_K)) 表示收敛概率向量，其中 (\sum_{i}\pi_i = 1)，(\Pi) 是 (P^T) 的主特征向量，因为 (P^T\Pi = \Pi)，特征值为 1。

以下是该框架的流程图：

graph TD;
    A[开始] --> B[划分点击流为会话并分配时间戳和标签];
    B --> C[指定时间段t和t + 1，构建序列(St, St+1)];
    C --> D[对序列进行聚类，得到K个聚类];
    D --> E[为用户分配聚类成员资格Ct和Ct+1];
    E --> F[构建频率表Fij];
    F --> G[计算过渡概率矩阵P];
    G --> H[计算Ps，当s趋近无穷时收敛到P*];
    H --> I[计算主特征向量Π];
    I --> J[输出极限概率向量Π];

实验结果

我们使用来自 ISP 的点击流数据，分析一个“大”搜索引擎（市场份额高）和一个小搜索引擎（市场份额低）之间的切换行为。

结果表明，大搜索引擎具有更高的用户参与度，目前正在从小搜索引擎那里夺取市场份额。然而，仍然有用户从大搜索引擎切换到小搜索引擎，并且有一些用户对小搜索引擎非常忠诚。假设当前趋势持续，小搜索引擎在稳态下将拥有一个非平凡的市场份额（比其当前份额低约 10%）。这表明用户确实有不同的偏好，即使大搜索引擎被认为具有更高的质量和更好的用户体验，仍有一些用户选择主要使用小搜索引擎。

以下是实验结果的表格：
| 搜索引擎 | 当前市场份额 | 稳态市场份额 | 用户参与度 |
| — | — | — | — |
| 大搜索引擎 | 高 | 高，但增长放缓 | 高 |
| 小搜索引擎 | 低 | 比当前低约 10% | 低，但有忠诚用户 |

总结

本文介绍了网络环境下的三个重要研究领域，包括树的弱准孔多塞胜者、网页遍历模式挖掘以及搜索引擎切换行为分析。

在树的弱准孔多塞胜者研究中，我们明确了相关概念和定理，并给出了寻找修改后的弱准孔多塞胜者的实用算法。网页遍历模式挖掘方面，提出的 MFTP 算法解决了现有基于拓扑研究的局限性，具有更好的通用性和简单性。在搜索引擎切换行为分析中，构建的框架能够刻画搜索引擎之间的切换行为，通过实验结果为小搜索引擎的生存提供了实证依据。

这些研究不仅在理论上丰富了相关领域的知识，还在实际应用中具有重要价值，如配送中心分配、网页系统设计和搜索引擎市场竞争分析等。未来，我们可以进一步研究这些算法和框架在不同场景下的优化和扩展，以更好地适应不断变化的网络环境。