97、市场均衡计算与配送中心分配的多数均衡方法

市场均衡计算与配送中心分配的多数均衡方法

1. 费舍尔市场均衡计算

1.1 费舍尔市场基本设定

费舍尔市场中，每个买家的预算约束为 $\sum_{j} p_{j}x_{ij} \leq B_{i}$，同时每种商品的需求和供给相等，即 $\sum_{i} x_{ij} = 1$，这也意味着每个买家的预算会完全用于购买分配到的商品束。

1.2 含生产单元的费舍尔市场

在更一般的设定中，用 $l$ 个生产单元替代卖家。第 $k$ 个生产单元能生产满足 $a_{k} \cdot y_{k} \leq 1$ 的任意商品束 $y_{k} \in R^{n}$。这种模型是上述费舍尔市场的推广，因为费舍尔市场中的每个卖家可视为生产单一商品的生产单元。线性单约束生产单元在广告定价等场景中有应用，每个商品对应广告位，每个生产者对应可“生产”广告位组合的页面，其高度总和不超过广告空间高度。

1.3 含生产单元的费舍尔市场均衡条件

市场均衡由价格向量 $p \in R^{n}$（$p_{j}$ 为第 $j$ 种商品的价格）和分配 $x \in R^{m\times n\times l}$（$x_{ijk}$ 为第 $i$ 个买家从第 $k$ 个卖家购买的第 $j$ 种商品的数量）决定，需满足以下条件：
- 在此价格下，每个买家分配到的商品束在预算约束下最大化其效用。
- 在此价格下，每个生产者生产的商品束在生产约束下最大化其收入。
- 每种商品的生产总量与买家购买总量相同。

1.4 模型简化

虽然线性单约束生产单元模型较为简单，但计算市场均衡价格的算法仍较复杂。可通过将其简化为无生产单元的设定，再使用已有算法来解决。简化思路是将每个生产单元 $k$ 视为最初拥有一单位“原材料”的单元，能将其转化为满足 $a_{k} \cdot y_{k} \leq 1$ 的商品束。构建一个市场，让卖家出售原材料，买家直接购买并转化为所需商品，然后给出将原材料价格转化为商品价格的简单变换。

1.5 简化的具体实现

给定含 $m$ 个买家、$n$ 种商品和 $l$ 个生产者的市场均衡问题实例 $M$，由预算 $B \in R^{m}$、效用 $u \in R^{m\times n}$ 和生产约束 $a \in R^{l\times n}$ 描述，构建实例 $M’$：
- $M’$ 中有 $m$ 个买家（对应 $M$ 中的买家）和 $l$ 个卖家（对应 $M$ 中的生产单元），每个卖家出售一单位不同的商品，称为第 $k$ 种原材料。
- 买家 $i$ 的预算为 $B_{i}$，其对一单位第 $k$ 种原材料的效用为 $u_{ik}’ := \max_{j} \frac{u_{ij}}{a_{kj}}$。

设 $p’$ 为市场 $M’$ 的均衡价格向量，$x’$ 为相应分配。定义商品在 $M$ 中的价格向量 $p$ 为 $p_{j} := \min_{k} p_{k}’ \cdot a_{kj}$。构建分配 $x$：对于 $M’$ 中的每个买家 $i$ 和卖家 $k$，取使 $\frac{u_{ij}}{a_{kj}}$ 最大的商品 $j$，定义 $x_{ijk} := \frac{x_{ik}’}{a_{kj}}$，其他 $j$ 对应的 $x_{ijk} := 0$。可以证明价格向量 $p$ 和分配 $x$ 构成 $M$ 的市场均衡。

1.6 简化的优势

通过这种简化，对于含线性单约束生产单元的市场均衡问题实例 $M$，能在多项式时间内构建无生产单元的实例 $M’$，并在给定 $M’$ 的均衡后，在多项式时间内构建 $M$ 的均衡。

2. 供应链管理中配送中心分配的多数均衡

2.1 多数均衡概念

在许多管理问题中，多数投票是常用的决策工具。多数均衡要求没有其他解决方案能让超过一半的参与者（或加权投票中超过一半的总投票权重）满意，是民主决策机制下的稳定点解。但多数均衡解并非总是存在，如著名的孔多塞悖论。

2.2 配送中心分配问题

在供应链管理中，配送中心选址问题可视为一个决策问题。一群合作的零售代理商需决定设立配送中心的位置，以让多数代理商受益。相关研究中，Demange 提出了四种多数均衡解（孔多塞赢家），并讨论了其存在条件。

2.3 加权离散模型

考虑一个加权的离散模型，环境由网络 $G = ((V, w), (E, l))$ 表示，其中 $V$ 中的每个顶点 $i$ 代表零售商的位置，$w(i)$ 为该位置零售商的投票权，$E$ 中的每条边 $e$ 的长度 $l(e)$ 表示两个零售商之间的距离。采用特殊的效用函数，即配送中心到所有零售商的距离之和，每个零售商希望该值最小。

2.4 孔多塞赢家类型

根据 Demange 的定义，位置 $x \in V$ 有以下几种孔多塞赢家类型：
- 强（弱）孔多塞赢家：对于任意 $y \in V$，到 $x$ 比到 $y$ 更近的顶点总权重比到 $y$ 比到 $x$ 更近的顶点总权重大（不小）。
- 准孔多塞赢家：将“比到 $y$ 更近”改为“比到 $y$ 更近或与到 $x$ 的距离相同”。

2.5 本文研究重点

本文受上述结果启发，基于多数规则构建加权函数，提出配送中心分配问题的最优效用函数。研究重点在于加权函数和最优效用值问题，考虑多数投票中的不完美信息。

2.6 多数投票过程

多数投票过程如下：
1. 设计选票，包含零售商名称、所有配送中心候选位置以及零售商位置到投票的配送中心位置的距离。
2. 发放选票，每个零售商可选择一个或多个位置，其对投票位置的决策权定义为 $\frac{1}{k}$，$k$ 为零售商投票的位置数量。
3. 收集选票并决策。

2.7 相关定义和模型

• 单配送中心选址问题：用 $V = {v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n}}$ 表示 $n$ 个配送中心候选位置，每个位置 $v_{i}$ 有 $u_{i}$ 个零售商。
• 距离定义：$d(u_{i}^{k}, v_{j})$ 表示位置 $i$ 中第 $k$ 个零售商到位置 $j$ 的距离，$d_{G}(v, v’)$ 表示图 $G$ 中两个位置 $v$ 和 $v’$ 之间的最短链长度。
• 权重函数：定义顶点 $v_{i}$ 的权重函数 $\omega(v_{i}) = \sum_{j = 1}^{u_{i}} f_{i}(u_{i}^{j})$，其中 $f_{i}(u_{i}^{j})$ 为零售商 $u_{i}^{j}$ 在位置 $v_{i}$ 的决策权。
• 图模型：配送中心分配问题可建模为无向图 $G = (V, E)$，顶点有非负权重 $\omega(v)$，边有长度 $l(e)$。

2.8 改进的孔多塞赢家定义

在图模型 $G = (V, E)$ 中，给定偏好序 $(\geq_{i}) {v {i} \in V}$，定义顶点 $v_{0}$ 为：
- 改进的弱准孔多塞赢家：对于任意 $u \in V$ 且 $u \neq v_{0}$，$\omega({v_{i} \in V : u > {i} v {0}}) \leq \frac{\omega(G)}{2}$，即 $\omega({v_{i} \in V : v_{0} \geq_{i} u}) \geq \frac{\omega(G)}{2}$。
- 改进的强准孔多塞赢家：对于任意 $u \in V$ 且 $u \neq v_{0}$，$\omega({v_{i} \in V : u > {i} v {0}}) < \frac{\omega(G)}{2}$，即 $\omega({v_{i} \in V : v_{0} \geq_{i} u}) > \frac{\omega(G)}{2}$。
- 改进的弱孔多塞赢家：对于任意 $u \in V$ 且 $u \neq v_{0}$，$\omega({v_{i} \in V : v_{0} > {i} u}) \geq \omega({v {i} \in V : u > {i} v {0}})$。
- 改进的强孔多塞赢家：对于任意 $u \in V$ 且 $u \neq v_{0}$，$\omega({v_{i} \in V : v_{0} > {i} u}) > \omega({v {i} \in V : u > {i} v {0}})$。

2.9 示例

以完全图 $K_{2}$ 和 $K_{3}$ 为例，当边集长度函数和顶点集权重函数为常数时，$K_{2}$ 有改进的弱孔多塞赢家和改进的弱准孔多塞赢家，但无改进的强孔多塞赢家和改进的强准孔多塞赢家；$K_{3}$ 有改进的强准孔多塞赢家、改进的弱孔多塞赢家和改进的弱准孔多塞赢家，但无改进的强孔多塞赢家。

2.10 算法研究

本文主要研究寻找树的改进的弱准孔多塞赢家的算法，其他三种类型的孔多塞赢家的性质和算法可通过类似方法讨论。

总结

本文介绍了费舍尔市场均衡计算和供应链管理中配送中心分配的多数均衡方法。在费舍尔市场方面，通过将含生产单元的模型简化为无生产单元的模型，能有效计算市场均衡。在配送中心分配问题中，基于多数规则构建加权函数和最优效用函数，提出改进的孔多塞赢家定义，并研究寻找树的改进的弱准孔多塞赢家的算法。这些方法为市场均衡计算和配送中心选址提供了有效的解决方案。

以下是费舍尔市场简化过程的 mermaid 流程图：

graph TD;
    A[含生产单元的费舍尔市场实例 M] --> B[构建无生产单元的实例 M'];
    B --> C[计算 M'的均衡 (p', x')];
    C --> D[根据 (p', x') 构建 M 的价格向量 p 和分配 x];
    D --> E[验证 (p, x) 为 M 的均衡];

以下是配送中心分配多数投票过程的表格：
|步骤|操作|
|----|----|
|1|设计选票，包含零售商名称、候选位置、距离信息|
|2|发放选票，零售商选择位置，决策权为 1/k|
|3|收集选票并决策|

3. 寻找树的改进的弱准孔多塞赢家算法

3.1 算法思路

在树结构的图模型中，寻找改进的弱准孔多塞赢家的算法基于树的特性。树是一种无环的连通图，具有独特的结构性质，这使得我们可以利用其特性来高效地找到满足条件的顶点。算法的核心思想是通过遍历树的节点，计算每个节点的相关权重信息，从而判断该节点是否为改进的弱准孔多塞赢家。

3.2 算法步骤

以下是寻找树的改进的弱准孔多塞赢家的详细步骤：
1. 初始化 ：
- 选择树中的任意一个顶点作为根节点，将树转换为有根树结构。
- 初始化一个队列，将根节点加入队列。
- 初始化一个数组 visited ，用于标记每个节点是否已被访问，初始值都为 false 。
- 初始化一个数组 weight ，用于存储每个节点的权重，根据之前定义的权重函数 $\omega(v_{i}) = \sum_{j = 1}^{u_{i}} f_{i}(u_{i}^{j})$ 计算每个节点的权重。
2. 广度优先搜索（BFS） ：
- 当队列不为空时，执行以下操作：
- 从队列中取出一个节点 $v$。
- 标记 $v$ 为已访问。
- 对于 $v$ 的每个未访问的邻居节点 $u$：
- 将 $u$ 加入队列。
- 计算从 $v$ 到 $u$ 的距离，并更新相关信息。
3. 判断节点是否为改进的弱准孔多塞赢家 ：
- 对于树中的每个节点 $v$，执行以下操作：
- 计算 $\omega({v_{i} \in V : u > {i} v})$ 和 $\omega({v {i} \in V : v \geq_{i} u})$ 对于所有 $u \in V$ 且 $u \neq v$。
- 如果对于所有 $u$，都满足 $\omega({v_{i} \in V : u >_{i} v}) \leq \frac{\omega(G)}{2}$，则 $v$ 是改进的弱准孔多塞赢家。

3.3 算法复杂度分析

• 时间复杂度 ：广度优先搜索的时间复杂度为 $O(V + E)$，其中 $V$ 是节点数，$E$ 是边数。对于树结构，$E = V - 1$，所以 BFS 的时间复杂度为 $O(V)$。判断每个节点是否为改进的弱准孔多塞赢家需要遍历所有节点对，时间复杂度为 $O(V^2)$。因此，整个算法的时间复杂度为 $O(V^2)$。
• 空间复杂度 ：主要的空间开销是队列和标记数组，空间复杂度为 $O(V)$。

3.4 算法示例

以下是一个简单的 Python 代码示例，用于演示寻找树的改进的弱准孔多塞赢家的算法：

from collections import deque

# 定义树的节点类
class TreeNode:
    def __init__(self, id, weight):
        self.id = id
        self.weight = weight
        self.neighbors = []

# 构建树
def build_tree():
    # 示例树结构
    node1 = TreeNode(1, 10)
    node2 = TreeNode(2, 20)
    node3 = TreeNode(3, 15)
    node4 = TreeNode(4, 25)

    node1.neighbors.append(node2)
    node2.neighbors.append(node1)
    node2.neighbors.append(node3)
    node3.neighbors.append(node2)
    node3.neighbors.append(node4)
    node4.neighbors.append(node3)

    return [node1, node2, node3, node4]

# 广度优先搜索
def bfs(root):
    queue = deque([root])
    visited = set()
    while queue:
        node = queue.popleft()
        visited.add(node.id)
        for neighbor in node.neighbors:
            if neighbor.id not in visited:
                queue.append(neighbor)

# 判断节点是否为改进的弱准孔多塞赢家
def is_weak_quasi_condorcet_winner(node, nodes):
    total_weight = sum([n.weight for n in nodes])
    for other_node in nodes:
        if other_node.id != node.id:
            # 这里需要根据具体的距离和权重计算规则来实现
            # 示例中简单假设距离和权重关系
            closer_to_other = 0
            for n in nodes:
                # 简单示例，实际需要根据图的距离计算
                if n.id != node.id and n.id != other_node.id:
                    if n.id % 2 == 0:
                        closer_to_other += n.weight
            if closer_to_other > total_weight / 2:
                return False
    return True

# 寻找改进的弱准孔多塞赢家
def find_weak_quasi_condorcet_winner(nodes):
    for node in nodes:
        if is_weak_quasi_condorcet_winner(node, nodes):
            return node
    return None

# 主函数
def main():
    nodes = build_tree()
    root = nodes[0]
    bfs(root)
    winner = find_weak_quasi_condorcet_winner(nodes)
    if winner:
        print(f"改进的弱准孔多塞赢家是节点 {winner.id}")
    else:
        print("未找到改进的弱准孔多塞赢家")

if __name__ == "__main__":
    main()

3.5 算法优化思路

为了提高算法效率，可以考虑以下优化思路：
- 剪枝策略 ：在判断节点是否为改进的弱准孔多塞赢家时，如果某个节点已经不满足条件，可以提前终止对该节点的进一步判断。
- 利用树的性质 ：树的结构具有一些特殊性质，如节点的层次关系、子树的权重等，可以利用这些性质减少不必要的计算。

4. 应用与拓展

4.1 市场均衡计算的应用

费舍尔市场均衡计算方法在实际经济市场中有广泛应用。例如，在商品交易市场中，生产者和消费者的决策可以通过市场均衡来协调。通过将含生产单元的模型简化为无生产单元的模型，可以更方便地计算市场均衡价格和分配方案，为市场参与者提供决策依据。

4.2 配送中心分配的应用

配送中心分配的多数均衡方法在供应链管理中具有重要意义。合理的配送中心选址可以降低物流成本，提高服务效率。通过基于多数规则的加权函数和改进的孔多塞赢家定义，可以找到让多数零售商满意的配送中心位置，实现供应链的优化。

4.3 拓展方向

• 多目标优化 ：在实际应用中，可能需要考虑多个目标，如成本最小化、服务质量最大化等。可以将多目标优化方法引入到市场均衡计算和配送中心分配问题中。
• 动态环境 ：市场和供应链环境是动态变化的，如需求的变化、新的生产者或零售商的加入等。可以研究动态环境下的市场均衡和配送中心分配问题，提高方法的适应性。

4.4 总结

本文介绍的市场均衡计算和配送中心分配的多数均衡方法为实际问题提供了有效的解决方案。通过简化模型和改进定义，提高了计算效率和决策的合理性。未来可以进一步拓展这些方法，以适应更复杂的实际应用场景。

以下是寻找树的改进的弱准孔多塞赢家算法的 mermaid 流程图：

graph TD;
    A[初始化根节点、队列、标记数组、权重数组] --> B[将根节点加入队列];
    B --> C{队列是否为空};
    C -- 否 --> D[取出队列头部节点 v];
    D --> E[标记 v 为已访问];
    E --> F[遍历 v 的未访问邻居节点 u];
    F --> G[将 u 加入队列];
    G --> C;
    C -- 是 --> H[遍历树的每个节点];
    H --> I{节点是否为改进的弱准孔多塞赢家};
    I -- 是 --> J[输出该节点为赢家];
    I -- 否 --> K[继续遍历下一个节点];
    K --> H;

以下是市场均衡计算和配送中心分配应用与拓展的列表：
|应用场景|拓展方向|
|----|----|
|商品交易市场|多目标优化|
|供应链管理|动态环境研究|