20、最坏情况均衡的结构与复杂度分析

最坏情况均衡的结构与复杂度分析

1. 基本概念

在博弈论中，混合策略配置 (P = (p_{j}^{i})) 的社会成本定义为：
[SC(P) = E\left[\max_{j\in[m]}\lambda_{j}\right]]
任务 (i) 在链路 (j) 上的期望成本为：
[c_{j}^{i} = w_{i}+\sum_{k\neq i}w_{k}p_{j}^{k}=E[\lambda_{j}]+(1 - p_{j}^{i})w_{i}]
当且仅当任何任务 (i) 仅将非零概率分配给使 (c_{j}^{i}) 最小化的链路时，（混合）策略配置 (P) 定义了一个纳什均衡，即 ((p_{j}^{i})>0) 意味着对于每个 (q\in[m])，都有 (c_{j}^{i}\leq c_{q}^{i})。如果对于所有 (i\in[n])，(j\in[m]) 都有 (p_{j}^{i}>0)，则称该纳什均衡为完全混合纳什均衡。所考虑的博弈存在唯一的完全混合纳什均衡 (F)，其中每个作业以概率 (\frac{1}{m}) 分配给每台机器。

2. 猜想提出

Mavronicolas 和 Spirakis 研究了完全混合纳什均衡的社会成本，他们希望将完全混合策略的分析技术适当扩展，以得出一般均衡社会成本的上界。这一假设在以下猜想中得到了形式化：
猜想 1（FMNE 猜想） ：完全混合纳什均衡 (F) 是最坏的纳什均衡，即对于每个纳什均衡 (P)，都有 (SC(F)\geq SC(P))。
已经有一些尝试来证明这个猜想。例如，已经证明该猜想在 (m = 2) 的情况下成立，以及当