92、可实现性带来的差异

可实现性带来的差异

在研究唯一汇点定向（USO）中的汇点查找问题时，可实现性起着关键作用。本文将探讨Matoušek型USO中可实现性对汇点查找查询复杂度的影响。

1. 研究结果

我们证明了两个主要定理，揭示了可实现的Matoušek型USO和所有Matoušek型USO在汇点查找查询复杂度上的差距：
- 定理1 ：对于每个确定性汇点查找算法A和任意n ≥ 2，存在一个n维Matoušek型USO，算法A在该USO上找到汇点至少需要n次顶点评估。
- 定理2 ：存在一个确定性算法，使用O(log² n)次顶点评估就能找到任意n维可实现的Matoušek型USO的汇点。

此外，我们还证明了关于一般Matoušek型USO的结果是紧的，对于可实现的情况，提供了Ω(log n)次顶点评估的下界。

2. 相关概念

在深入研究之前，我们先了解一些基本概念和符号：
- 向量和矩阵 ：所有向量和矩阵都定义在域Z₂上。用⊕表示Z₂中的按位加法（异或），0和1分别表示全零和全一的n维向量，eᵢ表示第i个标准基向量，I表示n×n的单位矩阵。对于自然数x，Bin(x)ᵢ表示x的二进制表示中第i个最低有效位。
- 超立方体定向 ：n维超立方体Qₙ是一个无向图(V, E)，顶点集V = {0, 1}ⁿ，两个顶点通过一条边连接当且仅当它们在恰好一个坐标上不同。超立方体的定向为每条边分配一个方向。
- 定义3 ：超立方体Qₙ的定向o由一个函数o : {0, 1}ⁿ → {0, 1}ⁿ描述，该函数为每个顶点分配其出映射。边(v, v ⊕ eᵢ)从v指向外部当且仅当o(v)ᵢ = 1。为确保所有边的定向一致，o必须满足o(v)ᵢ ≠ o(v ⊕ eᵢ)ᵢ，对于所有v ∈ V和i ∈ [n]。
- 定义4 ：唯一汇点定向（USO）是超立方体Qₙ的一种定向，使得对于超立方体的每个非空面F，由F诱导的子图有一个唯一的汇点，即一个没有出边的唯一顶点。
- 可实现性 ：
- 定义5 ：一个USO o是可实现的，如果存在一个非退化的P - 矩阵线性互补问题实例(M, q)，使得将该实例归约为USO汇点查找问题能产生o。

3. Matoušek型USO

• Matoušek USO ：由Gärtner定义的Matoušek USO是一种定向o，其特征是一个可逆的上三角矩阵A ∈ {0, 1}ⁿ×ⁿ（因此A的所有对角元素都是1）。矩阵定义了定向o(v) = Av。容易看出，A的每个主子矩阵也必须是可逆的，这意味着超立方体的每个面都有一个唯一的汇点，特别是整个超立方体在顶点0处有一个唯一的汇点。
• Matoušek型USO ：为消除Matoušek USO之间的这种共性，我们定义了更一般的Matoušek型USO，它们是与Matoušek USO同构的所有定向。
  • 定义6 ：Matoušek型USO是一种定向o，对于所有v ∈ {0, 1}ⁿ，o(v) = M(v ⊕ s)，其中M := PAPᵀ，P是一个置换矩阵，A是一个可逆的上三角矩阵，s是汇点的期望位置。
  • 我们可以将矩阵M视为维度[n]上的有向图G = ([n], Eₘ)的邻接矩阵，其中(i, j) ∈ Eₘ当且仅当Mⱼ,ᵢ = 1。由于A是可逆的上三角矩阵，且M是A的行和列以相同方式置换得到的，G是一个除了每个顶点i处有额外的自环边(i, i)之外的无环图。我们称这个图G为Matoušek型USO的维度影响图。
  • 引理8 ：一个图是可实现的Matoušek型USO的维度影响图当且仅当它是一个分支的自反传递闭包。

4. 汇点查找与Mx = y问题的等价性

基于Matoušek型USO的定义，我们可以将汇点查找问题转化为一个代数问题：
- 定义9 ：对于矩阵M ∈ {0, 1}ⁿ×ⁿ和向量y ∈ {0, 1}ⁿ，相关的Mx = y问题是找到满足Mx = y的向量x ∈ {0, 1}ⁿ。矩阵M不是问题实例的显式部分，而是通过一个矩阵 - 向量积预言机提供给算法。对于任何查询q ∈ {0, 1}ⁿ，预言机返回Mq。
- 定理10 ：对于n维Matoušek型USO的任何子类U，在镜像和维度置换下封闭，对于任何函数f : N → N，以下两个陈述是等价的：
- 存在一个确定性算法A，使用f(n)次顶点评估就能找到任何o ∈ U的汇点。
- 存在一个确定性算法B，使用f(n) - 1次矩阵 - 向量查询就能找到满足Mx = y的x，其中M可以是任何o ∈ U的维度影响图的邻接矩阵。

5. 一般情况

在一般的Matoušek型USO中，经典的JumpAntipodal算法可以在n次顶点评估内找到汇点。我们现在要证明定理1，即该算法复杂度的匹配下界。证明在Mx = y问题的框架下进行，算法1展示了一种对手策略，用于自适应地构造矩阵M，迫使每个确定性算法至少使用n - 1次查询来找到x。

算法1. 对抗构造
1: M⁽⁰⁾ ← I
2: for k ∈ {1, ..., n - 1} do
3:     x⁽ᵏ⁾ ← 算法提出的新的线性无关查询
4:     if y ∈ span(M⁽ᵏ⁻¹⁾x⁽¹⁾, ..., M⁽ᵏ⁻¹⁾x⁽ᵏ⁾) then
5:         X ← [x⁽¹⁾ ··· x⁽ᵏ⁾]ᵀ
6:         freevars ← X的简化行阶梯形式中的非主元位置
7:         选择z⁽ᵏ⁾使得Xz⁽ᵏ⁾ = eₖ且z⁽ᵏ⁾ᵢ = 0对于所有i ∈ freevars
8:         选择j ∈ freevars使得eⱼ是M⁽ᵏ⁻¹⁾的特征向量  ▷ j是一个汇点
9:         M⁽ᵏ⁾ ← M⁽ᵏ⁻¹⁾ + eⱼz⁽ᵏ⁾ᵀ  ▷ 将z⁽ᵏ⁾添加到M⁽ᵏ⁻¹⁾的第j行
10:    else
11:        M⁽ᵏ⁾ ← M⁽ᵏ⁻¹⁾  ▷ 无需更改M
12:    用y⁽ᵏ⁾ := M⁽ᵏ⁾x⁽ᵏ⁾回答查询

为了证明定理1，我们需要证明算法1构造的实例具有以下三个辅助性质：
- 一致性 ：对先前查询的回复保持一致。
- 合法性 ：由M定义的图仍然是一个合法的维度影响图，即它是一个在每个顶点处添加了自环的无环图。
- 不确定性 ：在k < n - 1次查询后，算法还不能区分具有不同解的某些实例。

综上所述，给定任何n - 1次查询，算法1会产生一系列合法的矩阵M⁽ᵏ⁾，这些矩阵始终与先前给出的回复一致。没有算法能在少于n - 1次查询时知道解。

下面是算法1的流程示意图：

graph TD;
    A[初始化M⁽⁰⁾ = I] --> B{k从1到n - 1循环};
    B --> C[获取新的线性无关查询x⁽ᵏ⁾];
    C --> D{y是否在span(M⁽ᵏ⁻¹⁾x⁽¹⁾, ..., M⁽ᵏ⁻¹⁾x⁽ᵏ⁾)中};
    D -- 是 --> E[构造X和freevars];
    E --> F[选择z⁽ᵏ⁾];
    F --> G[选择j];
    G --> H[更新M⁽ᵏ⁾ = M⁽ᵏ⁻¹⁾ + eⱼz⁽ᵏ⁾ᵀ];
    D -- 否 --> I[M⁽ᵏ⁾ = M⁽ᵏ⁻¹⁾];
    H --> J[用y⁽ᵏ⁾ = M⁽ᵏ⁾x⁽ᵏ⁾回答查询];
    I --> J;
    J --> B;

在后续的研究中，我们将进一步探讨可实现的Matoušek型USO的上界证明以及它与D - 立方体的关系。

可实现性带来的差异

6. 可实现情况的上界证明

对于可实现的Matoušek型USO，我们的算法并非直接找到USO的汇点，而是先恢复整个维度影响图，进而确定所有USO边的方向，之后就能在无需更多查询的情况下计算出汇点的位置。

由于预言机对每个查询的回复仅包含n位信息，而邻接矩阵M由n²位组成，所以任何亚线性算法若要发现整个邻接矩阵，就必须利用图的额外结构。我们借助之前的一个结果，即每个可实现的Matoušek型USO的维度影响图是一个分支的自反传递闭包。凭借这种严格的结构，我们可以将问题拆分为多个子问题，并把用于解决不同子问题的查询合并为一个查询，从而能“并行”地在多个子问题上取得进展，最终减少总体所需的查询次数。

7. 可实现性差距的讨论

Matoušek型USO是首个已知存在这种复杂度差距的USO类。我们期望这一结果能激励更多针对更大、更相关的USO类，利用可实现性这一特性来设计定制算法的研究。

值得注意的是，我们可以通过将易于求解的可实现USO集合R与难以求解的不可实现USO集合N组合，轻松构造出一个呈现这种复杂度差距的人工USO类。对于集合R，我们可以选取所有以相同顶点为汇点的可实现USO集合，这样一个用于查找R中USO汇点的算法可以直接输出该顶点，无需进行任何顶点评估。对于集合N，我们可以采用Schurr和Szabó构造的USO集合，并对每个USO进行修改使其不可实现，且不破坏其下界。最终得到的类R ∪ N也会呈现出复杂度差距。

然而，Matoušek型USO并非这种人工构造的类。首先，由于它们在证明随机面算法的下界方面具有重要意义，所以得到了广泛研究。其次，它们可以被视为证明可实现USO无条件下界的自然选择，因为目前已知的针对一般USO的随机算法的唯一无条件下界使用的是可分解USO，而可实现的Matoušek型USO是目前已知的唯一可实现的可分解USO类。

即便在自然的USO类中，复杂度差距也可能微不足道，例如当该类中几乎没有（或仅有极少数）可实现的USO时。但Matoušek型USO并非如此，n维可实现的Matoušek型USO有2Θ(n log n)个，而Matoušek型USO的总数为2Θ(n²)，其可实现部分的比例远大于所有USO集合中的比例。

8. Matoušek型USO与D - 立方体的联系

Matoušek型USO与D - 立方体之间存在有趣的联系。D - 立方体是可实现USO的一个子集，它是通过将P - LCP实例（其中P矩阵M是对称的）归约为汇点查找问题得到的，同时也包含了将线性规划归约为汇点查找问题所产生的USO。

Gao、Gärtner和Lamperski最近发现，在D - 立方体中，所有顶点处的L - 图必须是无环的。L - 图描述了USO在单个顶点周围的局部结构，可以看作是编码Matoušek型USO结构的维度影响图的局部版本。实际上，一个USO是Matoušek型USO当且仅当所有顶点处的L - 图相同。

我们在这项工作中为在更严格的Matoušek型USO中查找汇点所开发的技术，可能有助于为D - 立方体开发算法，但这首先需要更好地理解D - 立方体中可能的L - 图。虽然所有Matoušek型USO都满足成为D - 立方体的必要条件，但可实现的Matoušek型USO是否实际上就是D - 立方体仍有待确定。

9. 总结与展望

本文通过证明两个主要定理，揭示了可实现的Matoušek型USO和所有Matoušek型USO在汇点查找查询复杂度上的差距。对于一般的Matoušek型USO，我们证明了其汇点查找的查询复杂度下界为n次顶点评估；对于可实现的Matoušek型USO，我们给出了一个使用O(log² n)次顶点评估的确定性算法，并提供了Ω(log n)次顶点评估的下界。

Matoušek型USO具有许多独特的性质，如它不是人工构造的类，且可实现部分的比例相对较大，还与D - 立方体存在有趣的联系。这些性质使得Matoušek型USO成为研究USO复杂度和设计算法的一个有价值的对象。

未来的研究方向包括进一步探索如何利用可实现性设计更高效的算法，特别是针对更大、更相关的USO类；深入研究Matoušek型USO与D - 立方体的关系，确定可实现的Matoušek型USO是否为D - 立方体；以及尝试将本文中开发的技术应用到其他相关问题中。

以下是对本文关键内容的总结表格：
| 类别 | 关键信息 |
| ---- | ---- |
| 复杂度差距 | 一般Matoušek型USO汇点查找至少需n次顶点评估，可实现的Matoušek型USO用O(log² n)次顶点评估，下界为Ω(log n)次顶点评估 |
| Matoušek型USO性质 | 非人工构造，研究价值高，可实现部分比例大 |
| 与D - 立方体联系 | 有有趣联系，开发的技术可能用于D - 立方体算法，但需先理解D - 立方体中L - 图 |
| 未来研究方向 | 利用可实现性设计算法，研究与D - 立方体关系，应用技术到其他问题 |

下面是一个关于整体研究思路的mermaid流程图：

graph LR;
    A[定义相关概念] --> B[证明复杂度差距定理];
    B --> C[讨论Matoušek型USO特性];
    C --> D[研究与D - 立方体联系];
    D --> E[总结与展望未来研究方向];

综上所述，可实现性在Matoušek型USO的汇点查找问题中起着关键作用，为我们研究USO的复杂度和算法设计提供了新的视角和方向。