79、最小面积同伦：曲线、单词与折叠的几何之旅

最小面积同伦：曲线、单词与折叠的几何之旅

1 背景知识

1.1 曲线与图

在平面中，闭合曲线是一个连续映射 γ : S1 → R2，路径则是连续映射 ζ : [0, 1] → R2。当 ζ(0) = ζ(1) 时，路径 ζ 为闭合路径。本文主要研究一般曲线，即具有有限个自交点，且每个交点都是横截的，同时没有三条曲线在同一点交叉。

一般闭合曲线的图像自然地与一个四正则平面图相关联。曲线的自交点为顶点，顶点间的路径为边，曲线补集的连通分量为面。对于给定曲线，可任意选择起点 γ(0) = γ(1) 并确定其方向。

曲线的对偶图 γ∗ 是另一个（多重）图，其顶点代表 γ 的面。若 γ 中两个对应面之间有边相连，则 γ∗ 中对应的两个顶点也由边相连。对偶图是一个继承了 γ 嵌入方式的平面图。

设 T 是 γ 的生成树，E 为 γ 的边集，T 将 E 划分为两个子集 T 和 T ∗ := E \ T。T ∗ 中的边定义了 γ∗ 的一个生成树，称为余树。边的划分 (T, T ∗) 称为树 - 余树对。

若 γ∗ 的有根生成余树 T ∗ 可由以 γ∗ 中对应于 γ 无界面的顶点为根的广度优先搜索生成，则称其为广度优先搜索树（BFS - 树）。γ 的每个有界面 f 是 BFS - 树 T ∗ 中的一个顶点，我们将 f 与 f ∗ 沿根方向的唯一边相关联。因此，T ∗ 的边与 γ 的面之间存在对应关系。

1.2 同伦与同位

两条共享点 p0 的闭合曲线 γ1 和 γ2 之间的同伦是一个连续映射 H : [0, 1] × S1 → R2，满足 H(0, ·) = γ1，H(1, ·) = γ2，且 H(s, 0) = p0 = H(s, 1)。类似地，我们可以定义两条路径之间的同伦，其中两个端点在连续变形过程中保持固定。需要注意的是，作为闭合曲线的同伦和作为具有相同起点的闭合路径的同伦是不同的。

若两条单射路径 ζ1 和 ζ2 之间的同伦使得每个中间路径 H(s, ·) 对于所有 s 都是单射的，则称该同伦为同位。同位的概念自然地扩展到路径集合。

我们可以将 γ 视为一个拓扑空间，并考虑其基本群 π1(γ)。基本群的元素称为单词，其字母对应于 γ 中同伦闭合路径的等价类。γ 的基本群是一个自由群，其基由任何树 - 余树对的余树边对应的类组成。

设 H 是曲线 γ1 和 γ2 之间的同伦，函数 #H−1(x) : R2 → Z 为每个 x ∈ R2 分配中间曲线 H 扫过 x 的次数。H 的同伦面积定义为：
[Area(H) := \int_{R^2} #H^{-1}(x) dx]

γ1 和 γ2 之间的最小面积同伦是所有同伦的同伦面积的下确界，记为：
[Area_H(\gamma_1, \gamma_2) := \inf_H Area(H)]

当 γ2 是 γ1 上特定点 p0 处的常曲线时，定义 (Area_H(\gamma) := Area_H(\gamma, p0))。

对于每个 x ∈ R \ γ，γ 在 x 处的环绕数 wind(x, γ) 是 γ “环绕” x 的次数，若为逆时针方向则为正，否则为负。环绕数在每个面上是常数。γ 的环绕面积定义为：
[Area_W(\gamma) := \int_{R^2} |wind(x, \gamma)| dx = \sum_{face\ f} |wind(f, \gamma)| \cdot Area(f)]

面 f 的深度是从 f 到外部面的路径所穿过的最少边数，深度在每个面上是常数。曲线的深度等于所有面的最大深度。深度面积定义为：
[Area_D(\gamma) := \int_{R^2} depth(x, \gamma) dx = \sum_{face\ f} depth(f) \cdot Area(f)]

环绕面积为最小同伦面积提供了下界，同时，总是存在面积为 (Area_D(\gamma)) 的同伦。因此，我们有：
[Area_W(\gamma) \leq Area_H(\gamma) \leq Area_D(\gamma)]

1.3 自重叠曲线

若存在二维圆盘的浸入 F : D2 → R2，使得 γ = F|∂D2，则称一般曲线 γ 为自重叠曲线。我们称映射 F 扩展了 γ，F(D2) 是 γ 的内部。

自重叠曲线有多种等价定义方式。任何自重叠曲线的旋转数为 1，且其最小同伦面积等于其环绕面积，即 (Area_W(\gamma) = Area_H(\gamma))。

对于任何曲线，其交点序列 [γ]V 是一个顶点的循环序列 [v0, v1, …, vn−1]，其中 vn = v0，每个 vi 是 γ 的交点，且每个顶点在 γV 中恰好出现两次。若两个顶点 x 和 y 在 γV 中的两次出现以循环顺序交替，则称它们是相连的。

同一顶点 x 的一对符号通过平滑该顶点可诱导出两条自然子曲线。顶点配对是 [γ]V 中两两不相连的顶点对的集合。

γ 的自重叠分解 Γ 是一个顶点配对，使得诱导出的子曲线是自重叠的。对于 γ 的自重叠分解 Γ，设诱导出的子曲线集合为 {γi}ℓi=1，由于每个 γi 是自重叠的，其最小同伦面积等于环绕面积。自重叠分解的面积定义为：
[Area_{\Gamma}(\gamma) := \sum_{i = 1}^{\ell} Area_W(\gamma_i) = \sum_{i = 1}^{\ell} Area_H(\gamma_i)]

任何曲线 γ 都有一个自重叠分解，其面积在 γ 的所有零同伦中最小。

2 从曲线到单词

2.1 曲线表示与组合单词

为了处理平面曲线，需要选择一种表示方式。平面曲线的重要表示方式之一是各种组合单词，例如高斯码。确定高斯码是否对应于实际平面曲线是最早的计算拓扑问题之一。

平面曲线（及其同伦等价曲线）也可视为 γ 的基本群 π1(γ) 中的一个单词。若在每个有界面 fi 中放置一个点 pi，则曲线 γ 由每个 R2 − {pi} 的唯一生成元生成。

2.2 Blank 单词构造

设 γ 是平面中的一般闭合曲线，在 γ 的无界面中选取一个基点 p0，从每个有界面 fi 中选取一个代表点 pi。用简单路径将每个 pi 连接到 p0，且使这些路径互不相交，这些简单路径的集合称为电缆系统，记为 Π，每个从 pi 到 p0 的单独路径 πi 称为电缆。

将每个 πi 从 pi 到 p0 定向，从 γ 的任意起点遍历 γ，按 γ 穿过电缆 πi 的顺序写下索引，若从右向左穿过 πi 则索引为正，从左向右则为负，负交叉用上划线表示。得到的关于面的组合单词称为 γ 相对于 Π 的 Blank 单词，记为 [γ]B(Π)。

若单词 w 中没有两个连续的符号相同且符号相反，则称该单词是约化的。通过假设每个电缆在从 pi 到 p0 的所有路径中与 γ 的交点最少（最短路径假设），可以确保每个 Blank 单词是约化的。

一般来说，由不同电缆系统为同一曲线构造的约化 Blank 单词并不相同。但如果两个电缆系统在无界面中围绕点 p0 的电缆顺序相同，且满足最短路径假设，则它们对应的约化 Blank 单词相同。

Blank 单词在电缆同位下是不变的。若固定基点 p0 和围绕 p0 的循环电缆顺序，且电缆绘制合理，则 Blank 单词是唯一确定的。

以下是相关概念的总结表格：
|概念|定义|
| ---- | ---- |
|闭合曲线|连续映射 γ : S1 → R2|
|路径|连续映射 ζ : [0, 1] → R2|
|对偶图 γ∗|顶点代表 γ 的面，对应面有边相连则顶点相连|
|树 - 余树对|(T, T ∗)，T 为生成树，T ∗ := E \ T|
|广度优先搜索树（BFS - 树）|γ∗ 的有根生成余树，可由以对应无界面顶点为根的广度优先搜索生成|
|同伦|连续映射 H : [0, 1] × S1 → R2，满足特定条件|
|环绕面积 (Area_W(\gamma))|(\int_{R^2} |wind(x, \gamma)| dx = \sum_{face\ f} |wind(f, \gamma)| \cdot Area(f))|
|深度面积 (Area_D(\gamma))|(\int_{R^2} depth(x, \gamma) dx = \sum_{face\ f} depth(f) \cdot Area(f))|
|自重叠曲线|存在浸入 F : D2 → R2，使得 γ = F|∂D2|
|交点序列 [γ]V|顶点的循环序列，每个顶点出现两次|
|顶点配对|[γ]V 中两两不相连的顶点对集合|
|自重叠分解 Γ|顶点配对，诱导子曲线为自重叠曲线|
|Blank 单词 [γ]B(Π)|按特定规则构造的关于面的组合单词|

mermaid 格式流程图展示曲线相关概念关系：

graph LR
    A[曲线] --> B[顶点]
    A --> C[边]
    A --> D[面]
    A --> E[对偶图 γ*]
    A --> F[同伦]
    A --> G[自重叠曲线]
    B --> H[交点序列 [γ]V]
    H --> I[顶点配对]
    I --> J[自重叠分解 Γ]
    F --> K[环绕面积 Area_W(γ)]
    F --> L[深度面积 Area_D(γ)]
    F --> M[最小面积同伦 Area_H(γ)]
    E --> N[树 - 余树对 (T, T*)]
    N --> O[广度优先搜索树（BFS - 树）]
    D --> P[Blank 单词 [γ]B(Π)]

3 折叠与自重叠分解

3.1 消去范数与 Blank 切割

对于一个（循环）单词 w，配对是指单词中的一个字母及其逆元 (f, f)。若两个字母配对 (f1, f1) 和 (f2, f2) 在单词中交替出现，则称它们在单词中是相连的。单词的折叠是一组字母配对，且该集合中任意两个配对都不相连。

消去范数是根据配对来定义的，在更一般的情况下，每个字母都有一个相关的非负权重。若一个字母不参与折叠中的任何配对，则称其在该折叠中未配对。对于长度为 m 的单词，计算消去范数需要 O(m³) 时间和 O(m²) 空间，最近有更高效的算法，使用快速矩阵乘法，运行时间为 O(m².8603)。

单词 w 的加权消去范数定义为在 w 的所有折叠中，所有未配对字母的权重之和的最小值。若 w 中的每个字母 fi 对应曲线的一个面 fi，则 fi 的权重定义为 Area(fi)。折叠的面积是折叠中所有未配对符号的权重之和。加权消去范数为：
[||w|| := \min_F \sum_{i} Area(f_i)]
其中 F 是 w 的所有折叠的集合，i 遍历所有未配对字母。

可以使用类似于矩阵链乘法的动态规划方法计算消去范数。设 w = f1f2 · · · fℓ（ℓ ≥ 2），假设已经计算了所有长度小于 ℓ 的子单词的消去范数。若 fℓ 不是 1 ≤ i ≤ ℓ - 1 中任何 fi 的逆元，则 fℓ 未配对，且 (||w|| = ||w’|| + Area(f_ℓ))；否则，fℓ 参与折叠，找到 1 ≤ k ≤ ℓ - 1 中使 (||w_1|| + ||w_2||) 最小的 k，其中 w1 = f1 · · · fk - 1，w2 = fk + 1 · · · fℓ - 1。则有：
[||w|| = \min{||w’|| + Area(f_ℓ), \min_k {||w_1|| + ||w_2||}}]

下面从几何角度解释消去范数。设 (f, ¯f) 是单词 [γ]B(Π) 对于某个电缆系统 Π 的一个面配对，记 Π 中终止于面 f 的电缆为 πf，πf 与 γ 在对应于配对 (f, ¯f) 的两个点 p 和 q 相交。设 π′f 是 πf 的简单子路径，使得 π′f(0) = q 且 π′f(1) = p，我们称 π′f 为 Blank 切割。任何面配对都定义一个 Blank 切割，Blank 切割的结果会产生两条曲线，每条曲线的面数都比原始曲线少。

为了不部分切割任何面，要求所有 Blank 切割都沿着被切割面的边界进行。当沿着路径 πj 切割面 fi 时，通过同位将所有穿过 fi 内部的电缆（包括 πj 但不包括 πi）重新路由到 fi 的边界，以确保没有电缆与 πi 相交。

可以使用 Blank 切割来确定曲线是否为自重叠曲线。若子单词 σ = f1f2 … fk 中每个字母 fi 都是正的，则称 σ 为正子单词。若 (循环) 单词 w 中两个符号 f, ¯f 之间的两个子单词之一是正的，则称配对 (f, ¯f) 为正配对。若 w 的折叠中所有配对都是正的，且用空字符串替换折叠中的每个正配对（包括中间的正单词）后得到的单词仍然是正的，则称该折叠为正折叠。具有正折叠的单词称为正可折叠单词。曲线 γ 是自重叠曲线当且仅当 γ 的旋转数为 1 且 [γ]B(Π) 对于任何最短的 Π 都是正可折叠的。

3.2 动态规划与最小面积自重叠分解

通过以上对消去范数和 Blank 切割的研究，可以证明 Nie 的动态规划方法的正确性。可以从曲线的 Blank 单词使用消去范数计算曲线的最小同伦面积，且消去范数与电缆的绘制无关。同时，可以在多项式时间内找到最小面积的自重叠分解。

以下是相关步骤的流程图：

graph LR
    A[输入曲线 γ] --> B[构造 Blank 单词 [γ]B(Π)]
    B --> C[计算消去范数 ||[γ]B(Π)||]
    C --> D[确定最小同伦面积]
    B --> E[寻找面配对]
    E --> F[进行 Blank 切割]
    F --> G[生成子曲线]
    G --> H[判断子曲线是否自重叠]
    H --> I{是否所有子曲线自重叠}
    I -- 是 --> J[得到自重叠分解 Γ]
    I -- 否 --> E
    J --> K[计算自重叠分解面积 AreaΓ(γ)]

下面是一个总结表格，展示了折叠与自重叠分解相关概念：
|概念|定义|
| ---- | ---- |
|配对|单词中的一个字母及其逆元 (f, f)|
|相连配对|在单词中交替出现的两个字母配对|
|折叠|一组不相连的字母配对|
|消去范数|在所有折叠中，未配对字母权重之和的最小值|
|加权消去范数|(\min_F \sum_{i} Area(f_i))，F 为所有折叠集合|
|Blank 切割|由面配对定义的电缆子路径，切割曲线产生子曲线|
|正子单词|所有字母为正的子单词|
|正配对|两个符号间子单词之一为正的配对|
|正折叠|所有配对为正且替换后仍为正的折叠|
|正可折叠单词|具有正折叠的单词|
|自重叠分解|顶点配对使诱导子曲线为自重叠曲线|

综上所述，通过对曲线的同伦、Blank 单词、消去范数和 Blank 切割等概念的研究，我们可以深入理解曲线的最小同伦面积和自重叠分解问题，并通过有效的算法在多项式时间内解决这些问题。这些研究成果在计算拓扑等领域具有重要的应用价值。