73、有向图上的彩色约束生成树研究

有向图上的彩色约束生成树研究

在图论领域，有向边着色图上的彩色约束生成树问题是一个重要的研究方向。本文将围绕该问题展开，介绍相关定义、研究结果，并详细阐述几个关键定理的证明及算法。

基本定义与研究结果概述

在有向边着色图中，我们关注两种类型的彩色约束生成树：κ - CCST（κ - Colored Constrained Spanning Tree）和 κ - COCST（κ - Colored Out - Constrained Spanning Tree）。假设输入的有向图是有根的，即图中至少存在一个“根”顶点能够到达所有其他顶点，且不要求图是简单图，可能存在具有相同端点但不同颜色的边。

研究结果总结如下表：
| 图的类别 | λ | κ | 问题 | 难度 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 有向图 | ≥2 | = 1 | κ - CCST | NPH |
| 有向图 | ≥2 | ≥1 | κ - CCST | NPH |
| 有向图 | ≥2 | ≥1 | κ - COCST | NPH |
| DAG | ≥3 | ≥1 | κ - CCST | NPH |
| DAG | = 2 | = 1 | κ - CCST | P |
| DAG | = 2 | ≥2 | κ - CCST | Open |
| DAG | ≥2 | ≥1 | κ - COCST | P |

DAG 上 κ - CCST 问题的 NP 难度证明

定理 1 ：对于任意 λ ≥ 3