64、Zip-Zip树：特性、操作与性能分析

Zip-Zip树：特性、操作与性能分析

1. 引言

Zip-Zip树是一种具有独特性质的数据结构，在搜索、插入和删除操作上展现出良好的性能。本文将深入探讨Zip-Zip树的相关特性，包括排名比较、即时实现、偏置版本以及插入和删除操作等内容。

2. 排名比较实验

通过实验确定了均匀变体和Zip-Zip变体中完全排名平局（碰撞）的频率。实验结果如图1（左）所示：
| 变体类型 | 排名碰撞频率与n的关系 |
| ---- | ---- |
| 均匀Zip树 | 多项式递减，约为$n^{-2.97}$ |
| Zip-Zip变体的第二排名 | 关于$\log n$多项式递减，约为$\log^{-2.99} n$ |

这反映了这些排名值分别从$n^c$和$\log^c n$的范围中均匀抽取，其中$c$取值为3。

3. 即时Zip-Zip树

即时Zip-Zip树变体每个节点使用预期常数数量的位。如图1（右）所示，存储几何（$r_1$）排名差异每个节点仅需1.133位，存储均匀（$r_2$）排名每个节点仅需2.033位，因此每个节点的排名元数据总共仅需3.166位，即可实现理想的treap属性。

4. 偏置Zip-Zip树

对于带权键，可对Zip-Zip树进行修改以使其具有偏置性。具体操作如下：
1. 假设每个键$k$都有一个关联的权重$w_k$，如访问频率。
2. 插入键$k$时，为其分配一个排名对$r = (r_1, r_2)$，其中$r_1 = \lfloor\log w_k\rfloor + X_k$（$X_k$独