60、二维支配彩色范围计数的自适应数据结构

二维支配彩色范围计数的自适应数据结构

1. 引言

对与颜色相关的点进行颜色信息检索的研究受到了广泛关注。本文聚焦于其中最基础的问题之一：二维支配彩色范围计数。在这个问题中，我们需要对平面上的一组 $n$ 个点进行预处理，每个点被分配一个来自 ${0, 1, \cdots, C - 1}$（$C \leq n$）的颜色，构建一个数据结构，以便在给定查询点 $Q = (q.x, q.y)$ 时，能够高效计算范围 $(-\infty, q.x] \times (-\infty, q.y]$ 内不同颜色的数量 $k$。这个问题在数据库应用中很常见，也是其他正交彩色范围计数问题的基础。

一方面，二维支配彩色范围计数可以转化为二维三边刺探计数查询，而二维三边刺探计数又可以转化为二维支配范围计数。利用 J´aJ´a 等人的解决方案，我们可以在字 RAM 模型中用 $O(n)$ 字空间和 $O(\log_w n)$ 查询时间解决二维支配彩色范围计数问题。另一方面，Nekrich 表明，在点坐标处于二维秩空间的情况下，使用线性空间数据结构可以在 $O(1 + k)$ 时间内回答二维三边彩色范围报告问题。显然，二维三边彩色范围报告的数据结构也可用于二维支配彩色范围计数。因此，当输出数量 $k$ 较小时，使用报告数据结构可以更高效地找到 $k$。

本文旨在在字 RAM 模型下设计一种二维支配彩色范围计数的数据结构，当输出数量 $k$ 较小时能实现更好的查询时间。在文献中，对 $k$ 敏感的数据结构也被称为自适应数据结构。

2. 相关工作

• Chan 和 Wilkinsson 的工作 ：他们提出了第一个用于二维