33、稀疏图参数估计的亚线性空间流算法

稀疏图参数估计的亚线性空间流算法

在处理图相关问题时，最大独立集、最小支配集和最大匹配是几个关键的图问题。独立集可用于模拟避免冲突的优化和调度问题，支配集可用于模拟守护者选择问题，而匹配则可用于模拟相似度和包含依赖关系。当输入以数据流的形式呈现时，我们需要新的算法来计算稀疏图中与这些问题相关的参数。

1. 引言

我们关注的参数包括：
- 最大独立集的大小（独立性数β）：给定无向图G，顶点集V的子集S是独立集，当且仅当S诱导的子图不包含边。
- 最小支配集的大小（支配数γ）：子集S是支配集，当且仅当V中的每个顶点要么在S中，要么与S中的某个顶点相邻。
- 最大匹配的大小（匹配数φ）：边集E的子集M是匹配，当且仅当M中没有两条边共享一个顶点。

已知n - φ ≥ β ≥ n - 2φ ，并且判断β ≥ k和γ ≤ k是NP完全问题。在稀疏图（m ∈ O(n)）中，Caro - Wei界λ = ∑v∈V(G)(1 + deg(v))⁻¹是β的一个下界。

在数据流模型中，我们通常使用半流模型，对于一般图，需要O(n log n)位的工作空间。而在本文中，我们考虑稀疏图，将工作空间限制为o(n)位。图流有多种格式，如边到达、顶点到达、仅插入、旋转门、任意顺序和随机顺序等。

2. 相关工作回顾

• 最大匹配估计 ：在稀疏图中，当输入是树时，已经有几种(2 + ε)-近似算法。Esfandiari等人设计了一个用于仅插入流的˜O(√n)空间算法，Cormode等人将空间进一步减少到logO(1) n，Bury等人将其推广到旋转门流。