10、在线已知位置的旅行商问题算法解析

在线已知位置的旅行商问题算法解析

在解决在线旅行商问题（Online Traveling Salesman Problem，OLTSP）时，掌握请求的位置信息至关重要。本文将深入探讨在不同度量空间下，已知请求位置的OLTSP问题，为你详细介绍相关算法及其性能分析。

问题背景与基本概念

OLTSP - L问题的输入包含一个度量空间 $M$，其中有一个特殊点 $O$（原点），以及一组 $n$ 个请求 $Q = {q_1, …, q_n}$。每个请求 $q_i$ 是一个二元组 $(t_i, p_i)$，这里 $p_i$ 是 $M$ 中的一个点（在 $t = 0$ 时已知），$t_i \geq 0$ 是一个实数，表示请求 $q_i$ 的释放时间。一个初始位于原点的服务器，其移动速度最大为单位速度，需要在请求释放后为所有请求提供服务，目标是最小化总完成时间（makespan）。

我们用 $|ALG|$ 表示在线算法 $ALG$ 的总完成时间，用 $|OPT|$ 表示最优（离线）解决方案 $OPT$ 的总完成时间。如果对于所有实例都有 $|ALG| \leq r \cdot |OPT|$，则称算法 $ALG$ 是 $r$ - 竞争的。

一般度量空间下的算法

在一般度量空间中，对于封闭的OLTSP - L问题，即使在直线情况下，已有研究表明存在一个 $3/2$ 的下界。我们首先证明，对于开放的OLTSP - L问题（在环的情况下），同样存在 $3/2$ 的下界。以下是具体的证明思路：

考虑一个周长为 1 的环，有 2 个请求 $A$ 和 $B$，它们与原点 $O$ 的距离以及彼此之间的距离均为 $1/3$。在 $t = 1/3$ 时，由于对称