28、数学基础与应用：矩阵分解、集合理论、最小二乘法和回归分析

数学基础与应用：矩阵分解、集合理论、最小二乘法和回归分析

1. 矩阵分解

矩阵分解是将一个矩阵拆分为多个矩阵乘积的过程，在许多领域都有广泛应用。常见的矩阵分解方法包括 QR 分解、三角分解、特征值分解和奇异值分解等。

1.1 QR 分解

QR 分解是一种常用的矩阵分解方法，将一个 $M \times N$ 的实值矩阵 $A$ 表示为 $A = QR$，其中 $Q$ 是正交归一化矩阵（或酉矩阵），满足 $QQ^T = I$，$R$ 是上三角矩阵。QR 分解可用于解决条件较差的最小二乘问题，也是更复杂算法的基础。在图像工程中，它可将相机矩阵转换为旋转矩阵和上三角校正矩阵，或用于各种自校正算法。

1.2 三角分解

三角分解将原始方阵分解为上三角矩阵，或置换后的上三角矩阵和下三角矩阵。它也被称为对角法、LU 分解法、最大分解法、解析因子分析法等，主要用于简化大型矩阵行列式的计算或加速逆矩阵的计算。

1.3 奇异值分解（SVD）

奇异值分解是一种常用的矩阵分解方法，将任意 $m \times n$ 矩阵 $A$ 分解为 $A = UDV^T$。其中，$m \times m$ 矩阵 $U$ 的列是相互正交的单位向量，$n \times n$ 矩阵 $V$ 的行也是相互正交的单位向量，$m \times n$ 矩阵 $D$ 是对角矩阵，其非零元素称为奇异值 $\sigma_i$，满足 $\sigma_1 \geq \sigma_2 \geq \cdots \geq \sigma_v \geq 0$。奇异值分解常用于图像压缩和解决最小二乘误差问题。

SVD 具有许多有用的性质：