36、数学分析中的关键概念与定理

数学分析中的关键概念与定理

1. 度量空间与拓扑空间

度量空间是数学分析中的重要概念。一个度量空间是紧致的，当且仅当它是序列紧致的，即该空间中的任何序列都包含一个收敛子序列。若 (X) 是紧致度量空间，(X) 上的连续函数集 (C(X)) 在范数 (|f| = \max_{x\in X} |f(x)|) 下构成巴拿赫空间。阿斯克利 - 阿尔泽拉定理指出，(F \subset C(X)) 是紧致的，当且仅当它是一致有界且等度连续的。一致有界意味着 (\sup_{f\in F} |f| < +\infty)，等度连续则表示对于任意 (\varepsilon > 0)，存在 (\delta > 0)，使得当 (x, y \in X) 且 (dist(x, y) < \delta) 时，有 (\sup_{f\in F} |f(x) - f(y)| < \varepsilon)。

相关练习

• 练习 A.21：需证明度量空间是拓扑空间，以及欧几里得空间在给定距离下是度量空间。
• 练习 A.22：要证明若 (L) 和 (M) 是度量空间，函数 (f : L \to M) 连续，当且仅当在 (L) 中 (x_j \to x_0) 时，在 (M) 中有 (f(x_j) \to f(x_0))。

2. 复分析

2.1 复变函数的可微性与全纯性

复值函数 (f(z)) 在区域 (D \subset \mathbb{R}^2 \cong \mathbb{C}) 内某点 (z = c \in D) 可微，当且仅当极限 (\lim_{z\to c} \frac